Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Encontre a área da região compreendida entre as funções
e
no intervalo
.
Encontre a área da região compreendida entre as funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre duas funções trigonométricas,
e
, no intervalo de
que vai de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as duas funções que estamos lidando. A função
é uma função seno, que começa no
quando
e vai aumentando. Já a função
é uma função cosseno, que começa em
quando
e vai diminuindo.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a área entre essas duas curvas no intervalo de
a
. Para isso, precisamos saber qual das duas funções está por cima nesse intervalo, ou seja, qual tem valores maiores.
Passo 4
Vamos comparar os valores das funções no ponto médio do intervalo, por exemplo, em
. Calculando:
Vemos que
é maior que
nesse intervalo, então
está por cima de
.
Passo 5
Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções que estão em cima e embaixo, ou seja:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos as primitivas de
e
:
Passo 7
Aplicando essas primitivas na integral:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região compreendida entre as funções
e
no intervalo
é
unidades quadradas.