Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Encontre a área da região compreendida entre as funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) no intervalo x em [0, pi/4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre duas funções trigonométricas, e , no intervalo de x que vai de 0 até . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as duas funções que estamos lidando. A função é uma função seno, que começa no 0 quando x = 0 e vai aumentando. Já a função é uma função cosseno, que começa em 1 quando x = 0 e vai diminuindo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a área entre essas duas curvas no intervalo de 0 a . Para isso, precisamos saber qual das duas funções está por cima nesse intervalo, ou seja, qual tem valores maiores.

Passo 4

Vamos comparar os valores das funções no ponto médio do intervalo, por exemplo, em . Calculando:
Vemos que é maior que nesse intervalo, então g(x) está por cima de f(x).

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções que estão em cima e embaixo, ou seja:
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos as primitivas de e :

Passo 7

Aplicando essas primitivas na integral:

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração:
Para :
Para x = 0:

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região compreendida entre as funções e no intervalo é unidades quadradas.

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