Calcule os limites, se existirem, ou mostre que não existem. lim (x, y) (1,0) log (1+x^2x^2+x y) [Dica: utilize continuidade].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função log (1+x^2x^2+x y) quando (x, y) se aproxima de (1, 0). O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis e a continuidade da função logaritmo. Para resolver, vamos usar a continuidade da função logarítmica, que nos permite calcular o limite dentro do logaritmo primeiro, se o limite existir.

Passo 2

Vamos focar na parte dentro do logaritmo: 1+x^2x^2+x y. Primeiro, vamos calcular o limite dessa fração quando (x, y) (1, 0). Isso significa que vamos substituir x por 1 e y por 0 na expressão.

Passo 3

Substituindo os valores:
1+1^21^2+1 cdot 0 = 1+11+0 = 21 = 2
Então, o limite da fração dentro do logaritmo é igual a 2.

Passo 4

Agora, usando a propriedade da continuidade do logaritmo, sabemos que:
lim(x, y) to (1, 0) log (1+x^2x^2+x y) = log ( lim(x, y) to (1, 0) 1+x^2x^2+x y )
Como já calculamos que o limite dentro é 2, podemos substituir:

Passo 5

Então, temos:
log (2)
Isso significa que o limite da função original é o logaritmo de 2.

Resposta

O limite é log(2).

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