Calcule os limites, se existirem, ou mostre que não existem.
[Dica: utilize continuidade].
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis e a continuidade da função logaritmo. Para resolver, vamos usar a continuidade da função logarítmica, que nos permite calcular o limite dentro do logaritmo primeiro, se o limite existir.
Passo 2
Vamos focar na parte dentro do logaritmo:
. Primeiro, vamos calcular o limite dessa fração quando
. Isso significa que vamos substituir
por 1 e
por 0 na expressão.
Passo 3
Substituindo os valores:
Então, o limite da fração dentro do logaritmo é igual a 2.
Passo 4
Agora, usando a propriedade da continuidade do logaritmo, sabemos que:
Como já calculamos que o limite dentro é 2, podemos substituir:
Passo 5
Então, temos:
Isso significa que o limite da função original é o logaritmo de 2.
Resposta
O limite é
.