Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Encontre a área da região entre as funções f(x) = 4 - x^2 e g(x) = x no intervalo x in [-2, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a área entre as funções e no intervalo de entre -2 e 2. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Precisamos entender qual das funções está acima da outra no intervalo dado e depois calcular a integral da diferença delas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções se encontram, ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a saber qual função está por cima em cada parte do intervalo.
Então, igualamos as duas funções:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora, vamos verificar qual função está acima da outra no intervalo de -2 a 2. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , sabemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, calculamos a integral da diferença de -2 a 2:
Á
Vamos integrar termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Á
Calculando cada parte:
Para :
Então:
Para :
Então:
Agora, subtraímos os resultados:

Resposta

A área da região entre as funções e no intervalo de é unidades quadradas.

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