Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Encontre o polinômio de Taylor da função f(x) = ln(1+x) em torno de x = 0 até 0 termo de quinta ordem. Use essa expansão para calcular uma aproximação para ln(1.1). Qual é o erro da aproximação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor da função em torno de até o termo de quinta ordem. Depois, vamos usar esse polinômio para estimar o valor de e descobrir qual é o erro dessa aproximação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como ele funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar funções suaves (como o logaritmo) usando polinômios. A ideia é que, perto de um ponto específico (neste caso, ), a função pode ser representada por um polinômio que tem a mesma inclinação, curvatura e assim por diante, até a ordem que desejamos.
A fórmula geral do polinômio de Taylor de uma função em torno de até a n-ésima ordem é:
Aqui, representa a k-ésima derivada de avaliada em .

Passo 3

Como queremos o polinômio em torno de (também chamado de série de Maclaurin), vamos calcular as derivadas de até a quinta ordem e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando as derivadas que calculamos. Substituindo na fórmula:
Sabendo que , substituímos os valores:
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Agora vamos usar esse polinômio para aproximar . Primeiro, notamos que , então .
Substituindo em :
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 6

Para encontrar o erro da aproximação, usamos o termo seguinte da série de Taylor. O erro para o polinômio de Taylor de ordem é dado por:
Onde está entre 0 e . Neste caso, , então:
A sexta derivada de é:
Então,

Resposta

Aproximação de usando o polinômio de Taylor de quinta ordem é aproximadamente 0,09531 e o erro da aproximação é de, no máximo, 0,0000001667.

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