Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Verifique se o polinômio de Taylor de quarta ordem de
em torno de
aproxima bem 0 valor de
. Compare a aproximação com 0 valor real e discuta 0 erro.
Verifique se o polinômio de Taylor de quarta ordem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o Polinômio de Taylor de quarta ordem da função
em torno de
para aproximar o valor de
. Nosso objetivo é ver se essa aproximação tá legal comparada com o valor real e discutir o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender o que é o Polinômio de Taylor e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, o que é o Polinômio de Taylor? Ele é uma forma de aproximar funções suaves usando polinômios. A ideia é que, perto de um ponto
, a função pode ser bem representada por um polinômio que usa as derivadas da função nesse ponto. No nosso caso,
.
Passo 3
A fórmula geral do Polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de
é:
Como queremos o polinômio de quarta ordem, vamos até a quarta derivada.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem:
Percebeu? Todas as derivadas de
são
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Tudo igual a
.
Passo 6
Substituindo na fórmula do Polinômio de Taylor de quarta ordem:
Passo 7
Queremos aproximar
, então vamos substituir
no polinômio:
Passo 8
Calculando cada termo:
Então:
Passo 9
Fatorando o
:
Calculando os valores dentro dos colchetes:
Somando tudo:
Passo 10
Portanto:
Sabemos que
, então:
Passo 11
Agora, vamos comparar com o valor real de
. Calculando:
Passo 12
Finalmente, vamos ver o erro da aproximação:
Isso significa que a aproximação do polinômio de Taylor de quarta ordem está muito próxima do valor real, com um erro de aproximadamente 0.81%.
Resposta
O polinômio de Taylor de quarta ordem de
em torno de
aproxima
com um valor de aproximadamente 3.312, enquanto o valor real é 3.3201. O erro da aproximação é de cerca de 0.81%, indicando que a aproximação é bastante precisa.