Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Verifique se o polinômio de Taylor de quarta ordem de f(x) = e^x em torno de x = 1 aproxima bem 0 valor de e^1.2. Compare a aproximação com 0 valor real e discuta 0 erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o Polinômio de Taylor de quarta ordem da função em torno de para aproximar o valor de . Nosso objetivo é ver se essa aproximação tá legal comparada com o valor real e discutir o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender o que é o Polinômio de Taylor e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, o que é o Polinômio de Taylor? Ele é uma forma de aproximar funções suaves usando polinômios. A ideia é que, perto de um ponto , a função pode ser bem representada por um polinômio que usa as derivadas da função nesse ponto. No nosso caso, .

Passo 3

A fórmula geral do Polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de é:
Como queremos o polinômio de quarta ordem, vamos até a quarta derivada.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem:
Percebeu? Todas as derivadas de são .

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Tudo igual a .

Passo 6

Substituindo na fórmula do Polinômio de Taylor de quarta ordem:

Passo 7

Queremos aproximar , então vamos substituir no polinômio:

Passo 8

Calculando cada termo:
Então:

Passo 9

Fatorando o :
Calculando os valores dentro dos colchetes:
Somando tudo:

Passo 10

Portanto:
Sabemos que , então:

Passo 11

Agora, vamos comparar com o valor real de . Calculando:

Passo 12

Finalmente, vamos ver o erro da aproximação:
Isso significa que a aproximação do polinômio de Taylor de quarta ordem está muito próxima do valor real, com um erro de aproximadamente 0.81%.

Resposta

O polinômio de Taylor de quarta ordem de em torno de aproxima com um valor de aproximadamente 3.312, enquanto o valor real é 3.3201. O erro da aproximação é de cerca de 0.81%, indicando que a aproximação é bastante precisa.

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