Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
(Aplicação) A fórmula de Taylor pode ser usada para aproximação de raízes quadradas. Encontre 0 polinômio de Taylor de segunda ordem da função f(x) = raiz(x) em torno de x = 4. Use esse polinômio para aproximar raiz(4.1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a fórmula de Taylor para aproximar a raiz quadrada de 4.1. Para isso, vamos encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem da função em torno de . A fórmula de Taylor nos ajuda a aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Vamos começar encontrando o polinômio de Taylor de segunda ordem para em torno de . A fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem é:
Então, precisamos calcular , e .

Passo 3

Calculemos :

Passo 4

Agora, vamos achar a primeira derivada de :
Avaliando em :

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada de :
Avaliando em :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na expressão do polinômio de Taylor:

Passo 7

Finalmente, vamos usar esse polinômio para aproximar . Basta colocar na expressão do polinômio:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A aproximação de usando o polinômio de Taylor de segunda ordem é aproximadamente .

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