Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
(Aplicação) A fórmula de Taylor pode ser usada para aproximação de raízes quadradas. Encontre 0 polinômio de Taylor de segunda ordem da função
em torno de
. Use esse polinômio para aproximar
.
(Aplicação) A fórmula de Taylor pode ser usada para aproximação de raízes quadradas. Encontre 0 polinômio de Taylor de segunda ordem da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a fórmula de Taylor para aproximar a raiz quadrada de 4.1. Para isso, vamos encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem da função
em torno de
. A fórmula de Taylor nos ajuda a aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Vamos começar encontrando o polinômio de Taylor de segunda ordem para
em torno de
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem é:
Então, precisamos calcular
,
e
.
Passo 3
Calculemos
:
Passo 4
Agora, vamos achar a primeira derivada de
:
Avaliando em
:
Passo 5
Em seguida, a segunda derivada de
:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na expressão do polinômio de Taylor:
Passo 7
Finalmente, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Basta colocar
na expressão do polinômio:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
A aproximação de
usando o polinômio de Taylor de segunda ordem é aproximadamente
.