Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Encontre o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função f(x) = raiz(1 + x) em torno de x = 0. Use este polinômio para aproximar raiz(1.1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a fórmula de Taylor. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função em torno de e usar esse polinômio para aproximar o valor de . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e substituir na fórmula de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função . Nosso objetivo é expandi-la em um polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de .

Passo 3

Calculamos o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada de :
E avaliamos em :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada de :
E avaliamos em :

Passo 6

Com os valores encontrados, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar . Para isso, substituímos no polinômio :

Resposta

O valor aproximado de usando o polinômio de Taylor de segunda ordem é 1,04875.

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