Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Encontre o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função
em torno de
. Use este polinômio para aproximar
.
Encontre o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve a fórmula de Taylor. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função
em torno de
e usar esse polinômio para aproximar o valor de
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e substituir na fórmula de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
. Nosso objetivo é expandi-la em um polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de
.
Passo 3
Calculamos o valor da função no ponto
:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada de
:
E avaliamos em
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
:
E avaliamos em
:
Passo 6
Com os valores encontrados, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Para isso, substituímos
no polinômio
:
Resposta
O valor aproximado de
usando o polinômio de Taylor de segunda ordem é 1,04875.