onde
e
, sendo
uma função diferenciável dada. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é igual a outra função
, onde as coordenadas cartesianas
e
estão relacionadas às coordenadas polares
e
por
e
. O objetivo é mostrar que a derivada parcial de
em relação a
pode ser expressa em termos das derivadas parciais de
em relação a
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a derivada parcial de
em relação a
. Como
depende de
e
, e
e
dependem de
e
, usamos a regra da cadeia:
No entanto, como
e
são funções de
e
, precisamos expressar
de forma adequada.
Passo 3
Vamos reescrever
como
, onde
e
. Então, quando derivamos
em relação a
, estamos derivando
em termos de
e
.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para
e
. As derivadas parciais de
e
em relação a
e
são:
Passo 5
Usando a regra da cadeia para
, temos:
Precisamos encontrar
e
.
Passo 6
Sabemos que
e
. Derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo esses resultados na expressão da derivada parcial:
Resposta
Portanto, mostramos que