F(r, theta)=f(x, y) onde x=r cos theta e y=r sen theta, sendo f(x, y) uma função diferenciável dada. Verifique que
partial fpartial y(x, y)=cos thetar partial Fpartial theta(r, theta)+sen theta partial Fpartial r(r, theta)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é igual a outra função , onde as coordenadas cartesianas e estão relacionadas às coordenadas polares e por e . O objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a pode ser expressa em termos das derivadas parciais de em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a derivada parcial de partial fpartial y = partial fpartial x partial xpartial y + partial fpartial y partial ypartial y em relação a . Como depende de e , e e dependem de e , usamos a regra da cadeia:
No entanto, como e são funções de e , precisamos expressar de forma adequada.

Passo 3

Vamos reescrever como , onde e . Então, quando derivamos em relação a , estamos derivando em termos de e .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para partial xpartial r = cos theta, partial xpartial theta = -r sin theta e partial ypartial r = sin theta, partial ypartial theta = r cos theta . As derivadas parciais de e em relação a e são:

Passo 5

Usando a regra da cadeia para partial fpartial y = partial Fpartial r partial rpartial y + partial Fpartial theta partial thetapartial y , temos:
Precisamos encontrar e .

Passo 6

Sabemos que partial rpartial y = yraizx^2 + y^2 = r sin thetar = sin theta e partial thetapartial y = xx^2 + y^2 = r cos thetar^2 = cos thetar . Derivando em relação a :
E derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo esses resultados na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y = partial Fpartial r cdot sin theta + partial Fpartial theta cdot cos thetar

Resposta

Portanto, mostramos que
partial fpartial y(x, y) = cos thetar partial Fpartial theta(r, theta) + sin theta partial Fpartial r(r, theta)

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