- Todas as soluções de
:
Passo 1
O enunciado pede: "Todas as soluções de
".
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A equação diferencial é
. - Queremos a solução geral, ou seja, todas as funções
que satisfazem essa equação. - A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo (lado direito) é
.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (isso dá a parte complementar da solução). A homogênea é
Usamos a substituição padrão
para achar a equação característica. Substituindo obtemos
Como
, temos a equação característica
Resolvendo:
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Vou explicar o método usado: método dos coeficientes indeterminados.
- A ideia é tentar um palpite (ansatz) para
com a mesma forma funcional do lado direito , multiplicado por um polinômio se necessário. - Se o palpite for solução da homogênea, há “ressonância” e precisamos multiplicar o palpite por
(ou por onde é a multiplicidade da raiz associada na característica) para obter uma função linearmente independente.
Aqui o lado direito é
. Observamos que
corresponde à raiz
da característica, com multiplicidade
. Então o palpite simples
está na homogênea — não serve. Precisamos multiplicar por
e tomar o ansatz
onde
é uma constante a determinar (coeficiente indeterminado). Esse
garante independência linear em relação a
.
Passo 4
Calcular
e
cuidadosamente usando a regra do produto. Começo com
Derivando (produto de
por
):
Derivando novamente:
usar como produto: derivada é
(derivada de
) vezes
mais
vezes
. Então
usar
(Resumo dos cálculos:
, e
.)
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial para determinar
:
Fatorando
:
Portanto
Queremos isso igual a
(o lado direito da ODE). Assim
Passo 6
Com
obtemos a solução particular
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias. Essa é a família de todas as soluções da equação dada.
Passo 7
Comentário rápido de verificação (para você se sentir seguro): se você derivar
acima, calcular
e simplificar, as contribuições de
e
se anulam (porque são da homogênea) e resta exatamente
devido à parte
. Ou seja, a solução está consistente. Força aí — você já tem o procedimento padrão para qualquer RHS exponencial que coincida com raízes da característica.