1. Todas as soluções de y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}=e^{(7 x)} :

Passo 1

O enunciado pede: "Todas as soluções de y^{\prime\prime}-7y^{\prime}=e^{7x}".
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação diferencial é \;y^{\prime\prime}-7y^{\prime}=e^{7x}\;.
  • Queremos a solução geral, ou seja, todas as funções y(x) que satisfazem essa equação.
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo (lado direito) é e^{7x}.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (isso dá a parte complementar da solução). A homogênea é
y^{\prime\prime}-7y^{\prime}=0.
Usamos a substituição padrão y=e^{rx} para achar a equação característica. Substituindo obtemos
r^{2}e^{rx}-7r e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^{2}-7r)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, temos a equação característica
r^{2}-7r=0.
Resolvendo:
r(r-7)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=7.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{7x}=C_{1}+C_{2}e^{7x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Vou explicar o método usado: método dos coeficientes indeterminados.
  • A ideia é tentar um palpite (ansatz) para y_{p} com a mesma forma funcional do lado direito e^{7x}, multiplicado por um polinômio se necessário.
  • Se o palpite for solução da homogênea, há “ressonância” e precisamos multiplicar o palpite por x (ou por x^{s} onde s é a multiplicidade da raiz associada na característica) para obter uma função linearmente independente.
Aqui o lado direito é e^{7x}. Observamos que e^{7x} corresponde à raiz r=7 da característica, com multiplicidade 1. Então o palpite simples A e^{7x} está na homogênea — não serve. Precisamos multiplicar por x e tomar o ansatz
y_{p}(x)=A x e^{7x},
onde A é uma constante a determinar (coeficiente indeterminado). Esse x garante independência linear em relação a e^{7x}.

Passo 4

Calcular y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} cuidadosamente usando a regra do produto. Começo com
y_{p}(x)=A x e^{7x}.
Derivando (produto de x por e^{7x}):
y_{p}^{\prime}(x)=A\big(1\cdot e^{7x} + x\cdot 7e^{7x}\big)=A(1+7x)e^{7x}.
Derivando novamente:
usar (1+7x)e^{7x} como produto: derivada é 7e^{7x} (derivada de 1+7x) vezes e^{7x} mais (1+7x) vezes 7e^{7x}. Então
y_{p}^{\prime\prime}(x)=A\big(7e^{7x} + 7(1+7x)e^{7x}\big)=A(14+49x)e^{7x}.
(Resumo dos cálculos: (1+7x)'=7, e (e^{7x})'=7e^{7x}.)

Passo 5

Substituir y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial para determinar A:
y_{p}^{\prime\prime}-7y_{p}^{\prime}=A(14+49x)e^{7x}-7\cdot A(1+7x)e^{7x}.
Fatorando A e^{7x}:
y_{p}^{\prime\prime}-7y_{p}^{\prime}=A e^{7x}\big(14+49x-7-49x\big)=A e^{7x}\cdot 7.
Portanto
y_{p}^{\prime\prime}-7y_{p}^{\prime}=7A e^{7x}.
Queremos isso igual a e^{7x} (o lado direito da ODE). Assim
7A e^{7x}=e^{7x}\quad\Rightarrow\quad 7A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{7}.

Passo 6

Com A=\dfrac{1}{7} obtemos a solução particular
y_{p}(x)=\frac{1}{7}x e^{7x}.
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}e^{7x}+\frac{1}{7}x e^{7x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Essa é a família de todas as soluções da equação dada.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (para você se sentir seguro): se você derivar y(x) acima, calcular y^{\prime\prime}-7y^{\prime} e simplificar, as contribuições de C_{1} e C_{2}e^{7x} se anulam (porque são da homogênea) e resta exatamente e^{7x} devido à parte \dfrac{1}{7}x e^{7x}. Ou seja, a solução está consistente. Força aí — você já tem o procedimento padrão para qualquer RHS exponencial que coincida com raízes da característica.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{7x}+\frac{1}{7}x e^{7x}

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