- Todas as soluções de
:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial
Informações dadas e observações importantes:
- É uma equação diferencial de ordem
. - Os coeficientes são constantes (os termos que multiplicam
são constantes). - O termo que aparece no lado direito (termo não-homogêneo) é o polinômio
(grau ). - Precisamos fornecer a família geral de soluções (ou seja, todas as soluções), que normalmente é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Primeiro consideramos a homogênea
A técnica padrão aqui é procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Essa é uma equação algébrica simples; fatorando:
portanto as raízes são
e
. Cada raiz distinta produz uma solução independente
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem).
Passo 3
Escolher um método para achar uma solução particular
da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o termo não-homogêneo é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples desses.
Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau
(aqui
), tentamos um polinômio de grau
com coeficientes indeterminados. Normalmente tentaríamos
Mas atenção: se alguma parte dessa tentativa já for solução da homogênea, há “ressonância” e devemos multiplicar a tentativa por
suficiente vezes até que a tentativa fique independente das soluções homogêneas. No nosso caso a homogênea contém a constante
(isto é,
está na homogênea), então o termo constante da tentativa
iria colidir com
. Isso exige multiplicar a tentativa por
(uma vez, porque a raiz
tem multiplicidade
na característica). Portanto usamos como tentativa
Passo 4
Calcular as derivadas de
(vamos precisar delas para substituir na equação).
Para
Para
temos
Expliquei: derive termo a termo; a derivada de
é
e de
é
; a segunda derivada de
é
e de
é
.
Passo 5
Substituir
na equação
:
Desenvolvendo:
Essa expressão deve ser igual ao lado direito
para todo
, ou seja
Passo 6
Comparar coeficientes de potências de
em ambos os lados (método padrão para igualdades de polinômios). No membro esquerdo o termo em
é
e o termo constante é
. No membro direito o termo em
é
e o termo constante é
. Igualando coeficientes:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Substituindo
:
Passo 7
Agora temos os componentes: a solução particular encontrada é
E a solução geral da homogênea (relembrando) é
Passo 8
Verificação rápida (checar que
funciona): usando
e
acima, substituindo em
dá
confirmando que
realmente produz o lado direito
. Tudo consistente.