1. Todas as soluções de y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}=x :

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial
y^{\prime\prime}-7y^{\prime}=x.
Informações dadas e observações importantes:
  • É uma equação diferencial de ordem 2.
  • Os coeficientes são constantes (os termos que multiplicam y'',y',y são constantes).
  • O termo que aparece no lado direito (termo não-homogêneo) é o polinômio x (grau 1).
  • Precisamos fornecer a família geral de soluções (ou seja, todas as soluções), que normalmente é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Primeiro consideramos a homogênea
y^{\prime\prime}-7y^{\prime}=0.
A técnica padrão aqui é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-7r=0.
Essa é uma equação algébrica simples; fatorando:
r(r-7)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=7. Cada raiz distinta produz uma solução independente e^{rx}. Assim a solução geral da homogênea é
y_h=C_{1}\cdot e^{0\cdot x}+C_{2}\cdot e^{7x}=C_{1}+C_{2}e^{7x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem).

Passo 3

Escolher um método para achar uma solução particular y_p da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o termo não-homogêneo é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples desses.
Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau n (aqui n=1), tentamos um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados. Normalmente tentaríamos
y_p^{(tentativa)} = ax + b.
Mas atenção: se alguma parte dessa tentativa já for solução da homogênea, há “ressonância” e devemos multiplicar a tentativa por x suficiente vezes até que a tentativa fique independente das soluções homogêneas. No nosso caso a homogênea contém a constante C_{1} (isto é, e^{0x}=1 está na homogênea), então o termo constante da tentativa b iria colidir com y_h. Isso exige multiplicar a tentativa por x (uma vez, porque a raiz r=0 tem multiplicidade 1 na característica). Portanto usamos como tentativa
y_p = x(ax+b)=ax^{2}+bx.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p (vamos precisar delas para substituir na equação).
Para
y_p = a x^{2}+ b x
temos
y_p' = 2a x + b,
y_p'' = 2a.
Expliquei: derive termo a termo; a derivada de ax^{2} é 2ax e de bx é b; a segunda derivada de ax^{2} é 2a e de bx é 0.

Passo 5

Substituir y_p'', y_p' na equação y''-7y'=x:
y_p''-7y_p' = 2a -7(2a x + b).
Desenvolvendo:
2a -14a x -7b.
Essa expressão deve ser igual ao lado direito x para todo x, ou seja
2a -14a x -7b = x.

Passo 6

Comparar coeficientes de potências de x em ambos os lados (método padrão para igualdades de polinômios). No membro esquerdo o termo em x é -14a x e o termo constante é 2a-7b. No membro direito o termo em x é 1\cdot x e o termo constante é 0. Igualando coeficientes:
Coeficiente de x:
-14a = 1 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{1}{14}.
Termo constante:
2a -7b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{2a}{7}.
Substituindo a=-\tfrac{1}{14}:
2a = -\tfrac{1}{7},\quad b = \frac{-\tfrac{1}{7}}{7} = -\tfrac{1}{49}.

Passo 7

Agora temos os componentes: a solução particular encontrada é
y_p = a x^{2}+ b x = -\frac{1}{14}x^{2}-\frac{1}{49}x.
E a solução geral da homogênea (relembrando) é
y_h = C_{1}+C_{2}e^{7x}.

Passo 8

Verificação rápida (checar que y_p funciona): usando a e b acima, substituindo em y_p''-7y_p'
2a -14a x -7b = -\tfrac{1}{7} + x + \tfrac{1}{7} = x,
confirmando que y_p realmente produz o lado direito x. Tudo consistente.

Resposta

y=C_{1}+C_{2}e^{7x}-\frac{x^{2}}{14}-\frac{x}{49}.

Exercícios relacionados