A todo complexo z , associamos o complexo Z definido por :
Z=i z^{2}-(1+i) z+1
1- Calcular Z para, sucessivamente, z=1, z=-i, z=1-i e z=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}.

Passo 1

O enunciado define a associação entre dois números complexos por
Z = i\,z^{2} - (1+i)\,z + 1
e pede para calcular Z quando z assume quatro valores específicos. Vamos usar álgebra de números complexos: elevar ao quadrado, multiplicar por i e simplificar termos.

Passo 2

Para z = 1 temos z^2 = 1. Logo,
Z = i\cdot1 - (1+i)\cdot1 + 1 = i - 1 - i + 1 = 0.

Passo 3

Para z = -i temos z^2 = (-i)^2 = -1. Então
i\,z^2 = i\cdot(-1) = -i,
e
(1+i)\,z = (1+i)\,(-i) = -i - i^2 = -i + 1 = 1 - i.
Assim,
Z = -i - (1 - i) + 1 = -i - 1 + i + 1 = 0.

Passo 4

Para z = 1 - i calculamos primeiro
z^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + (-i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i,
de onde
i\,z^2 = i\cdot(-2i) = -2\,i^2 = 2,
e
(1+i)\,z = (1+i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 = 2.
Logo,
Z = 2 - 2 + 1 = 1.

Passo 5

Para z = \tfrac12 - \tfrac{i}{2} temos
z^2 = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac{i}{2}\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{4} - 2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12\,i + \tfrac{(-i)^2}{4} = 0 - \tfrac{i}{2} = -\tfrac{i}{2},
então
i\,z^2 = i\cdot\Bigl(-\tfrac{i}{2}\Bigr) = -\tfrac{i^2}{2} = \tfrac12,
e
(1+i)\,z = (1+i)\Bigl(\tfrac12 - \tfrac{i}{2}\Bigr) = \tfrac12 - \tfrac{i}{2} + \tfrac{i}{2} - \tfrac{i^2}{2} = 1.
Portanto,
Z = \tfrac12 - 1 + 1 = \tfrac12.

Resposta

Para z=1: Z=0
Para z=-i: Z=0
Para z=1-i: Z=1
Para z=\tfrac12-\tfrac{i}{2}: Z=\tfrac12

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