\mathbb{C} designa o conjunto dos complexos.
Considera-se a aplicação f de \mathbb{C} \backslash\{1\} em \mathbb{C} definida por :
f(Z)=\frac{1+Z}{1-Z}
2- No plano P ortonormal direto ( \mathrm{O}, \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}} ), designamos por :
M o ponto de afixo Z ; A o ponto de afixo 1 ; \mathrm{A}^{\prime} o ponto de afixo -1 .
2-a- Dar uma interpretação geométrica dos argumentos de 1+\mathrm{Z} e de 1-\mathrm{Z}.
Deduzir uma interpretação geométrica dos argumentos de f(Z).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
f\colon \mathbb{C}\setminus\{1\}\to\mathbb{C},\quad f(Z)=\frac{1+Z}{1-Z}
e considera no plano complexo o ponto M de afixo Z, o ponto A de afixo 1 e o ponto A' de afixo -1. Pede-se interpretar geometricamente \arg(1+Z) e \arg(1-Z) e, daí, \arg f(Z).

Passo 2

Lembrando que, em afixos, para dois pontos de afixos z_1 e z_2, o vetor \overrightarrow{P_2P_1} tem afixo z_1-z_2. Assim:
  • 1+Z = Z-(-1) é a afixo de \overrightarrow{A'M}.
  • 1 - Z é a afixo de \overrightarrow{MA}.

Passo 3

Dessa forma,
\arg(1+Z)=\arg\bigl(\overrightarrow{A'M}\bigr) \quad\text{e}\quad \arg(1-Z)=\arg\bigl(\overrightarrow{MA}\bigr).

Passo 4

Então
\arg f(Z) =\arg\bigl(1+Z\bigr)\;-\;\arg\bigl(1-Z\bigr) =\arg\bigl(\overrightarrow{A'M}\bigr)\;-\;\arg\bigl(\overrightarrow{MA}\bigr),
isto é, é o ângulo orientado de \overrightarrow{MA} até \overrightarrow{A'M}, ou seja, o ângulo entre as retas MA e MA' tomado com orientação positiva.

Resposta

\arg(1+Z)=\arg(\overrightarrow{A'M}), \arg(1-Z)=\arg(\overrightarrow{MA}) e
\arg f(Z) =(\overrightarrow{MA},\,\overrightarrow{A'M}),
isto é, o ângulo orientado de \overrightarrow{MA} a \overrightarrow{A'M}.

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