\mathbb{C} designa o conjunto dos complexos.
Considera-se a aplicação f de \mathbb{C} \backslash\{1\} em \mathbb{C} definida por :
f(Z)=\frac{1+Z}{1-Z}
2- Definimos z=x+i y em que x e y são reais. Determinar o conjunto E dos pontos M de afixo z tais que Z é real. Representar E num sistema de coordenadas ortonormal ( O, \vec{u}, \vec{v} ).

Solução

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{C}\setminus\{1\}\to\mathbb{C},\qquad f(Z)=\frac{1+Z}{1-Z}
e pede o lugar geométrico dos pontos M de afixo z=x+iy para os quais f(z) é real. Para isso, vamos escrever f(z) em função de x e y e impor \Im\bigl(f(z)\bigr)=0.

Passo 2

Escrevemos
f(z)=\frac{1+z}{1-z} =\frac{1+(x+iy)}{1-(x+iy)} =\frac{(1+x)+i\,y}{(1-x)-i\,y}.
Para separar parte real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de (1-x)-i\,y.

Passo 3

Multiplicando por (1-x)+i\,y, obtemos
f(z) =\frac{\bigl((1+x)+i\,y\bigr)\bigl((1-x)+i\,y\bigr)}{\bigl((1-x)-i\,y\bigr)\bigl((1-x)+i\,y\bigr)} =\frac{A+iB}{(1-x)^2+y^2},
onde
A=(1+x)(1-x)-y^2=1-x^2-y^2, \qquad B=(1+x)y+y(1-x)=2y.

Passo 4

Para que f(z) seja real, precisamos de
\Im\bigl(f(z)\bigr)=\frac{B}{(1-x)^2+y^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad B=2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.
Assim, todos os pontos têm de estar sobre o eixo real.

Passo 5

Lembrando que z\neq1 (o domínio exclui Z=1), concluímos que o lugar geométrico é o eixo real, com exceção do ponto de abscissa 1.

Resposta

O conjunto E é
E=\bigl\{\,z=x+iy\in\mathbb{C}\mid y=0\text{ e }x\neq1\bigr\},
isto é, o eixo x no plano complexo com um “furo” em x=1.

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