Em todos os itens abaixo K in R é uma constante de integração.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) integral(x^2+1)^2013 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (x^2+1)^2013,x,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, já que vemos uma função composta (x^2+1)^2013 multiplicada por x. Precisamos usar a regra de substituição (u-substituição).

Passo 2

Vamos definir a substituição u = x^2 + 1. Assim, derivando ambos os lados, temos:
du = 2x,dx
ou seja,
x,dx = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral (x^2+1)^2013,x,dx = integral u^2013 (12,du) = 12 integral u^2013,du

Passo 4

Agora integramos u^2013 em relação a u. Pela regra de potência:
integral u^2013,du = u^20142014 + C
Logo,
12 integral u^2013,du = 12cdot u^20142014 + C = u^20142cdot2014 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = x^2+1. Assim, a integral fica:
(x^2+1)^20142cdot2014 + K = (x^2+1)^20144028 + K

Resposta

(x^2+1)^20144028 + K

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