Calcule as seguintes integrais definidas:
(b) integral0^1 x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x(x^2+1)^2,dx
Esse tipo de integral costuma ser resolvido por substituição, usando u=x^2+1.

Passo 2

Fazendo a substituição
Defina u = x^2 + 1. Então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x=0, temos u=1. Quando x=1, temos u=2. A integral fica
integral0^1 x(x^2+1)^2,dx = integralu=1^u=2 1u^2 cdot du2 = 12integral1^2 u^-2,du

Passo 3

Agora integramos u^-2:
integral u^-2,du = -u^-1 + C
Portanto,
12integral1^2 u^-2,du = 12l[-u^-1r]1^2 = 12l(-12 + 1r) = 12 cdot 12 = 14

Resposta

14

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