Nos exercícios de (9) a (16), aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz na série infinita . Isso envolve estudar a convergência ou divergência dessa série. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A fórmula é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá resposta.
Passo 3
Agora, identifique o termo geral da série, que é:
ak = cos^k 1raizk
Vamos calcular o quociente ak+1ak = cos^k+1 1raizk+1cos^k 1raizk = cos 1raizk+1 cdot ( cos 1raizk+1cos 1raizk )^k :
Isso parece complicado, então vamos simplificar usando o limite.
Passo 4
Para encontrar o limite L = limk to infty cos 1raizk+1 cdot ( cos 1raizk+1cos 1raizk )^k , vamos analisar:
À medida que cresce, tende a 0. Sabemos que quando é pequeno. Vamos usar essa aproximação para simplificar.
Passo 5
Aproximando cos 1raizk approx 1 - 12k :
ak approx (1 - 12k)^k
Então,
E sabemos que tende para quando tende ao infinito.
Passo 6
Voltando ao limite L = limk to infty cos 1raizk+1 cdot (1 - 12(k+1))^k :
L approx limk to infty (1 - 12(k+1)) cdot e^-1/2 = e^-1/2
Usando a aproximação, temos que , então:
Passo 7
Agora, calculamos o valor de e^-1/2 approx 0,6065 :
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Razão, já que o limite .