Nos exercícios de (1) a (8), determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
,
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a série é alternada por causa do termo
. Isso significa que os termos da série mudam de sinal conforme
aumenta. Para séries alternadas, um bom começo é aplicar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a verificar se a série converge.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que a série
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência monótonamente decrescente e tende a zero conforme vai para o infinito.
No nosso caso,
. Vamos verificar essas condições.
Passo 4
Primeiro,
é sempre positivo para
, então a primeira condição do teste está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é decrescente e tende a zero. Para isso, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
O limite não é zero, o que significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.
Passo 6
Como o limite de
não é zero, o Teste da Divergência nos diz que a série
diverge. Não precisamos verificar a convergência absoluta, pois já concluímos que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.