Nos exercícios de (1) a (8), determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
sumk=1^infty(-1)^k+1 k^2+1k^2+k,

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a série é alternada por causa do termo . Isso significa que os termos da série mudam de sinal conforme aumenta. Para séries alternadas, um bom começo é aplicar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a verificar se a série converge.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que a série converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência monótonamente decrescente e tende a zero conforme vai para o infinito.
No nosso caso, . Vamos verificar essas condições.

Passo 4

Primeiro, é sempre positivo para , então a primeira condição do teste está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar se limk to infty k^2+1k^2+k = limk to infty 1 + 1k^21 + 1k = 1 + 01 + 0 = 1 é decrescente e tende a zero. Para isso, analisamos o limite de quando tende ao infinito:
O limite não é zero, o que significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.

Passo 6

Como o limite de não é zero, o Teste da Divergência nos diz que a série diverge. Não precisamos verificar a convergência absoluta, pois já concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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