Nos exercícios de (1) a (8), determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
sumk=0^infty(-1)^k 1k^23,

Passo 1

O exercício pede para analisar a série alternada sumk=1^infty(-1)^k1k^2/3: verificar convergência ou divergência e, em caso de convergência, se é absoluta ou condicional. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e também o teste da série-p.

Passo 2

Observamos que o termo geral em módulo é ak=1k^2/3. Para aplicar o teste de Leibniz precisamos checar dois pontos: (1) ak é monótono decrescente e (2) limktoinftyak=0.

Passo 3

Mostrando que ak é decrescente: considere a função f(x)=x^-2/3 para x>=1. Como f'(x)=-tfrac23x^-5/3<0, temos que f(x) decresce e, portanto, ak+1 para todo k. Além disso, claramente limktoinfty1k^2/3=0.
Pelo teste de Leibniz, como ak decresce e tende a zero, a série alternada sum(-1)^kak converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos sumk=1^inftyl|(-1)^ktfrac1k^2/3r|=sumk=1^inftytfrac1k^2/3, que é uma série-p com expoente p=2/3<1. Pelo teste da série-p, essa série diverge.

Passo 5

Como a série original converge mas não converge absolutamente, concluímos que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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