Nos exercícios de (1) a (8), determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. ,
Passo 1
O exercício pede para analisar a série alternada : verificar convergência ou divergência e, em caso de convergência, se é absoluta ou condicional. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e também o teste da série-p.
Passo 2
Observamos que o termo geral em módulo é . Para aplicar o teste de Leibniz precisamos checar dois pontos: (1) é monótono decrescente e (2) .
Passo 3
Mostrando que é decrescente: considere a função para . Como , temos que decresce e, portanto, para todo . Além disso, claramente .
Pelo teste de Leibniz, como decresce e tende a zero, a série alternada converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, analisamos , que é uma série-p com expoente p=2/3<1. Pelo teste da série-p, essa série diverge.
Passo 5
Como a série original converge mas não converge absolutamente, concluímos que a convergência é condicional.