Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede para ver se a função
é invertível (isto é, bijetora) e, se for, achar sua inversa. Vamos usar teoria de injetividade, sobrejetividade e resolução de equações para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio natural de
: como o denominador
não pode ser zero, temos
. Logo, (\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus{-1}.
Passo 3
Para verificar injetividade, suponha
. Temos
Passo 4
Agora, para a sobrejetividade, basta achar a imagem. Tome
e resolva para
:
Passo 5
Concluímos que
é bijetora de
em
, logo invertível. A expressão que obtivemos para
em função de
é justamente a inversa. Troque
por
na fórmula de inversão e obtemos
Resposta
A função é bijetora de
em
e sua inversa é
.