Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
f(x)=x+2x+1

Passo 1

O enunciado pede para ver se a função f(x)=x+2x+1 é invertível (isto é, bijetora) e, se for, achar sua inversa. Vamos usar teoria de injetividade, sobrejetividade e resolução de equações para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio natural de f: como o denominador x+1 não pode ser zero, temos xneq -1. Logo, (\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus{-1}.

Passo 3

Para verificar injetividade, suponha f(x1)=f(x2). Temos
x1+2x1+1=x2+2x2+1Fazendo produto cruzado e simplificando, chega-se a x1=x2. Portanto f é injetora.

Passo 4

Agora, para a sobrejetividade, basta achar a imagem. Tome y=f(x) e resolva para x:
y=x+2x+1Longrightarrow y(x+1)=x+2Longrightarrow x(y-1)=2-yLongrightarrow x=2-yy-1Vemos que essa fórmula gera um x para todo yneq 1. Logo a imagem de f é Rsetminus1. Se escolhermos o contradomínio como Rsetminus1, f é sobrejetora.

Passo 5

Concluímos que f é bijetora de Rsetminus-1 em Rsetminus1, logo invertível. A expressão que obtivemos para x em função de y é justamente a inversa. Troque y por x na fórmula de inversão e obtemos
f^-1(x)=2-xx-1,dom(f^-1)=Rsetminus1

Resposta

A função é bijetora de Rsetminus-1 em Rsetminus1 e sua inversa é f^-1(x)=2-xx-1.

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