Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
Passo 1
Temos a função f definida por f(x)=1/x. O objetivo é verificar se ela é invertível, ou seja, bijetora (injetora e sobrejetora), e em caso afirmativo encontrar sua inversa. Vamos usar o conceito de domínio, contradomínio, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio natural de f. Como não podemos dividir por zero, o domínio será
. Para que f seja sobrejetora, escolhemos o contradomínio também como
, pois para todo valor não nulo de saída existe um x no domínio que o produz.
Passo 3
Agora, verificamos a injetividade. Suponha que
. Isso significa
. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
. Logo, não há dois pontos distintos do domínio que têm a mesma imagem, ou seja, f é injetora.
Passo 4
Em seguida, checamos a sobrejetividade. Tome um valor arbitrário
em
. Queremos encontrar
tal que
. Resolvendo
para x, temos
. Como
,
pertence ao domínio e satisfaz
. Assim, f é sobrejetora.
Passo 5
Como f é injetora e sobrejetora no domínio e contradomínio escolhidos, concluímos que f é bijetora e, portanto, invertível. Para encontrar a inversa, trocamos x por y em
e isolamos y em função de x, obtendo
, com domínio e contradomínio
.
Resposta
A função é invertível (bijetora em
). Sua inversa é
, com domínio e contradomínio iguais a
.