Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
f(x)=1x

Passo 1

Temos a função f definida por f(x)=1/x. O objetivo é verificar se ela é invertível, ou seja, bijetora (injetora e sobrejetora), e em caso afirmativo encontrar sua inversa. Vamos usar o conceito de domínio, contradomínio, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio natural de f. Como não podemos dividir por zero, o domínio será Rsetminus0. Para que f seja sobrejetora, escolhemos o contradomínio também como Rsetminus0, pois para todo valor não nulo de saída existe um x no domínio que o produz.

Passo 3

Agora, verificamos a injetividade. Suponha que f(x1)=f(x2). Isso significa 1/x1=1/x2. Multiplicando ambos os lados por x1x2, obtemos x2=x1. Logo, não há dois pontos distintos do domínio que têm a mesma imagem, ou seja, f é injetora.

Passo 4

Em seguida, checamos a sobrejetividade. Tome um valor arbitrário y em Rsetminus0. Queremos encontrar x tal que f(x)=y. Resolvendo y=1/x para x, temos x=1/y. Como yneq0, x=1/y pertence ao domínio e satisfaz f(x)=y. Assim, f é sobrejetora.

Passo 5

Como f é injetora e sobrejetora no domínio e contradomínio escolhidos, concluímos que f é bijetora e, portanto, invertível. Para encontrar a inversa, trocamos x por y em y=1/x e isolamos y em função de x, obtendo f^-1(x)=1/x, com domínio e contradomínio Rsetminus0.

Resposta

A função é invertível (bijetora em Rsetminus0). Sua inversa é f^-1(x)=1/x, com domínio e contradomínio iguais a Rsetminus0.

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