Exercício 13 Resolva o seguinte sistema linear
l x1^prime=3 x1(t)-x2(t) x2^prime=-2 x1(t)+2 x2(t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com coeficientes constantes
x1'(t)=3,x1(t)-x2(t), x2'(t)=-2,x1(t)+2,x2(t)
O método que vamos usar é a análise espectral: escrevemos o sistema como x'=Ax, obtemos os autovalores de A, depois os autovetores, e então construímos a solução geral como combinação linear de e^lambda t vezes autovetor.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial x=(x1,x2)^T e
A = 3 & -1 [6pt] -2 & 2 ,
de modo que x'=Ax. O polinômio característico é dado por
det(A-lambda I) = det! 3-lambda & -1 [3pt] -2 & 2-lambda = (3-lambda)(2-lambda)-2 ]

Passo 3

Expandindo e igualando a zero,
(3-lambda)(2-lambda)-2 =6 -5lambda +lambda^2 -2 =lambda^2 -5lambda +4 =0
As raízes são
lambda1=1, lambda2=4

Passo 4

Para resolvemos :
Um autovetor conveniente é
Para resolvemos :
Um autovetor conveniente é ]

Passo 5

Como os autovalores são distintos, a solução geral é
x(t) = C1,e^lambda1 t,v^(1) + C2,e^lambda2 t,v^(2) = C1,e^t12 + C2,e^4t1-1,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x1(t)[3pt] x2(t) = C1,e^t 12 + C2,e^4t 1-1 ]

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