Em todos os problemas, considere sempre que S e S^{\prime} são dois referenciais em configuração padrão, conforme definido nas aulas.
Para ter uma ideia da ordem de grandeza dos efeitos relativísticos, e quando eles são relevantes, responda:
Quanto deve ser (em \mathrm{km} / \mathrm{h} ) a velocidade relativa entre dois observadores, para que a diferença entre suas medidas de tempo ou espaço seja de 1 \% ?

Passo 1

O enunciado quer a ordem de grandeza da velocidade relativa v tal que as diferenças relativísticas (dilatação de tempo ou contração de comprimento) atinjam 1\%. Em relatividade especial, essas diferenças são medidas pelo fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\!.
Para que a diferença seja de 1\%, basta exigir \gamma = 1{,}01. Vamos usar essa condição e depois converter o resultado para \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 2

Impondo
\gamma = 1{,}01 = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\!,
onde definimos \beta = v/c. Invertendo,
\sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{1{,}01} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \beta^2 = \frac{1}{(1{,}01)^2} = \frac{1}{1{,}0201} \approx 0{,}980296.
Logo
\beta^2 = 1 - 0{,}980296 = 0{,}019704 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \sqrt{0{,}019704}\approx 0{,}14036.

Passo 3

Daí
v = \beta\,c \approx 0{,}14036\,c.
Como c\approx 3{,}0\times10^5, \mathrm{km/s} e há 3600,s em 1 h, temos
c \approx 3{,}0\times10^5\;\mathrm{km/s}\times3600\;\mathrm{s/h} =1{,}08\times10^9\;\mathrm{km/h}.
Portanto
v \approx 0{,}14036\times1{,}08\times10^9\;\mathrm{km/h} \approx1{,}5\times10^8\;\mathrm{km/h}.

Resposta

A velocidade precisa ser aproximadamente 1{,}5\times10^8, \mathrm{km/h}.

Exercícios relacionados