Uma corda de densidade linear 480 \mathrm{~g} / \mathrm{m} está sob uma tensão de 48 N . Uma onda de frequencia 200 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda. Qual a taxa média de transporte de energia da onda?

Passo 1

O enunciado dá uma corda com densidade linear \mu=480\\ \mathrm{g/m}, tensão T=48\\ \mathrm{N}, e uma onda de frequência f=200\\ \mathrm{Hz} e amplitude A=4\\ \mathrm{mm}. Pede-se a taxa média de transporte de energia (potência média) pela onda. Na teoria de ondas em corda, usa-se
P_{\text{média}} = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,\omega^{2}A^{2},é
onde v é a velocidade de propagação e \omega a frequência angular.

Passo 2

Converter as unidades para o SI. \mu = 480\\ \mathrm{g/m} = 0{,}48\\ \mathrm{kg/m} A = 4\\ \mathrm{mm} = 0{,}004\\ \mathrm{m}

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação na corda pela relação
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{48}{0{,}48}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a frequência angular
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 200 = 400\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Substituir na fórmula de potência média:
P_{\text{média}} = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,\omega^{2}A^{2} = \frac{1}{2}\times 0{,}48 \times 10 \times (400\pi)^{2} \times (0{,}004)^{2}.é
Calculemos passo a passo: (400\pi)^{2} = 160\,000\,\pi^{2}, (0{,}004)^{2} = 1{,}6\times 10^{-5},
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\omega^{2}A^{2} = 160\,000\,\pi^{2}\times 1{,}6\times 10^{-5} = 2{,}56\,\pi^{2},
e assim
P_{\text{média}} = 0{,}5 \times 0{,}48 \times 10 \times 2{,}56\,\pi^{2} = 6{,}144\,\pi^{2} \approx 6{,}144 \times 9{,}87 \approx 60{,}6\\ \mathrm{W}.é

Resposta

A taxa média de transporte de energia é aproximadamente 61\\ \mathrm{W}.

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