Tomando como base \mathrm{V}, \mathrm{D} e \rho determinar os grupos adimensionais \Pi que compõem a equação: f(\Delta h ; L ; V ; D ; \rho ; \mu ; g)=c t e
Resp: 4 grupos \Pi

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Buckingham e encontrar os grupos adimensionais \Pi que tornam constante a função
f(\Delta h,\;L,\;V,\;D,\;\rho,\;\mu,\;g)=\text{cte}.
Aqui o conteúdo é análise dimensional e a técnica de variáveis repetidas, e já nos dizem que as variáveis-base são V, D e \rho.

Passo 2

Listamos cada variável com sua dimensão fundamental em M (massa), L (comprimento) e T (tempo):
\displaystyle \Delta h:\;[L]
\displaystyle L:\;[L]
\displaystyle V:\;[L\,T^{-1}]
\displaystyle D:\;[L]
\displaystyle \rho:\;[M\,L^{-3}]
\displaystyle \mu:\;[M\,L^{-1}\,T^{-1}]
\displaystyle g:\;[L\,T^{-2}]

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas V, D e \rho porque seus expoentes em M,L,T são independentes:
\rho traz M,
V traz T,
e D traz L.
Com n=7 variáveis e k=3 dimensões fundamentais, teremos 7-3=4 grupos \Pi.

Passo 4

Formamos \Pi para as grandezas geométricas \Delta h e L.
Procuramos expoentes a,b,c tais que
\Pi_1=\Delta h\;V^a\,D^b\,\rho^c
seja adimensional. Montando as equações de expoentes dá a=0, b=-1, c=0, logo
\Pi_1=\frac{\Delta h}{D}.
Analogamente para L obtemos
\Pi_2=\frac{L}{D}.

Passo 5

Agora \Pi_3 para \mu:
\Pi_3=\mu\;V^a\,D^b\,\rho^c,
resolvendo vem a=-1, b=-1, c=-1, resultando em
\Pi_3=\frac{\mu}{\rho\,V\,D},
que é o inverso do número de Reynolds.

Passo 6

Finalmente \Pi_4 para g:
\Pi_4=g\;V^a\,D^b\,\rho^c,
e das condições dimensionais achamos a=-2, b=1, c=0, isto é
\Pi_4=\frac{g\,D}{V^2},
que é inverso (ao quadrado) do número de Froude.

Resposta

\Pi_1 = \frac{\Delta h}{D},\quad \Pi_2 = \frac{L}{D},\quad \Pi_3 = \frac{\mu}{\rho\,V\,D},\quad \Pi_4 = \frac{g\,D}{V^2}.

Exercícios relacionados