Utilizando a Análise Dimensional determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que f(\varepsilon ; \rho ; v ; D ; t ; V).

Passo 1

O enunciado pede para, usando Análise Dimensional (teorema de Buckingham \Pi), formar expressões adimensionais que relacionem as variáveis \varepsilon (taxa de dissipação de energia por massa), \rho (densidade), \nu (viscosidade cinemática), D (comprimento, diâmetro do vórtice), t (tempo) e V (velocidade). Temos 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais ( M,L,T), logo podemos construir 6 3=3 grupos \Pi independentes que correspondem às escalas adimensionais de comprimento, tempo e velocidade.

Passo 2

Escolhemos como variáveis repetidas \varepsilon, \nu e \rho pois elas envolvem todas as dimensões M,L,T. Para o comprimento D buscamos um \Pi do tipo
\Pi_{D} = \varepsilon^{a}\,\nu^{b}\,\rho^{c}\,D
que seja adimensional. Em termos de dimensões:
[\Pi_{D}] = \bigl(L^2T^{-3}\bigr)^{a} \bigl(L^2T^{-1}\bigr)^{b} \bigl(ML^{-3}\bigr)^{c} \;L = M^{c}\,L^{2a+2b-3c+1}\,T^{-3a-b}.
Para zerar os expoentes obtém-se
c=0,\quad -3a-b=0,\quad 2a+2b+1=0 \;\Longrightarrow\;a=\tfrac14,\;b=-\tfrac34,\;c=0.
Logo
\Pi_{D} = \varepsilon^{1/4}\,\nu^{-3/4}\,D \quad\Longrightarrow\quad \frac{D\,\varepsilon^{1/4}}{\nu^{3/4}}.

Passo 3

Para o tempo t montamos
\Pi_{t} = \varepsilon^{a}\,\nu^{b}\,\rho^{c}\,t
e exigimos anulação dos expoentes de M,L,T. Fazendo o mesmo procedimento, achamos
c=0,\quad -3a-b+1=0,\quad 2a+2b=0 \;\Longrightarrow\;a=\tfrac12,\;b=-\tfrac12,\;c=0.
Portanto
\Pi_{t} = \varepsilon^{1/2}\,\nu^{-1/2}\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{t\,\varepsilon^{1/2}}{\nu^{1/2}}.

Passo 4

Para a velocidade V definimos
\Pi_{V} = \varepsilon^{a}\,\nu^{b}\,\rho^{c}\,V
e repetimos o ajuste de expoentes, encontrando
c=0,\quad -3a-b-1=0,\quad 2a+2b+1=0 \;\Longrightarrow\;a=-\tfrac14,\;b=-\tfrac14,\;c=0.
Fica então
\Pi_{V} = \varepsilon^{-1/4}\,\nu^{-1/4}\,V \quad\Longrightarrow\quad \frac{V}{\nu^{1/4}\,\varepsilon^{1/4}}.

Resposta

As três expressões adimensionais são:
\Pi_{D} = \frac{D\,\varepsilon^{1/4}}{\nu^{3/4}}, \qquad \Pi_{t} = \frac{t\,\varepsilon^{1/2}}{\nu^{1/2}}, \qquad \Pi_{V} = \frac{V}{\nu^{1/4}\,\varepsilon^{1/4}}.

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