Tomando como base a seguinte lista de dados, representativa dos salários de um conjunto de pessoas, sem tabulação prévia, calcule:
66,0 66,6 66,9 67,3 67,6 67,6 67,7 68,3 68,6 68,7
69,6 69,7 69,8 69,9 69,9 70,2 70,2 70,4 70,9 70,9
71,3 72,1 72,1 72,5 73,0 73,4 73,6 73,7 73,9 74,8
75,4 76,5 76,7 77,1 77,3 77,6 77,9 78,2 78,4 78,5
Abaixo de qual valor estão os 30% mais mal remunerados.

Passo 1

O enunciado fornece uma lista de salários (sem tabulação prévia) e pede: abaixo de qual valor estão os 30\% mais mal remunerados. Os dados fornecidos, em ordem crescente, são:
66,0,\;66,6,\;66,9,\;67,3,\;67,6,\;67,6,\;67,7,\;68,3,\;68,6,\;68,7,
69,6,\;69,7,\;69,8,\;69,9,\;69,9,\;70,2,\;70,2,\;70,4,\;70,9,\;70,9,
71,3,\;72,1,\;72,1,\;72,5,\;73,0,\;73,4,\;73,6,\;73,7,\;73,9,\;74,8,
75,4,\;76,5,\;76,7,\;77,1,\;77,3,\;77,6,\;77,9,\;78,2,\;78,4,\;78,5.
Informações relevantes extraídas:
  • Número total de observações: n=40.
  • Pergunta: encontrar o valor-corte tal que os 30\% menores salários estejam abaixo desse valor.

Passo 2

O que significa “os 30\% mais mal remunerados”: é o percentil de ordem 30\% (também chamado 30º percentil). Esse percentil é o valor tal que aproximadamente 30\% dos dados estão abaixo dele. Para calcular percentis em uma amostra ordenada costuma-se usar a posição
L = p\,(n+1),
onde p é a proporção (aqui p=0,30) e n é o tamanho da amostra. Vou usar essa regra porque é uma forma simples, habitual em estatística elementar, e permite interpolação quando L não é inteiro.

Passo 3

Calcular a posição L:
L = 0,30\cdot(40+1)=0,30\cdot 41 = 12,3.
Como L=12,3, o 30\% está entre a 12ª e a 13ª observação ordenada, a 12ª contribuindo com peso 0,7 (parte inteira) e a diferença 0,3 (parte fracionária) determinando a interpolação para andar 30\% do caminho da 12ª para a 13ª.

Passo 4

Identificar as observações na posição 12 e 13 (peguei esses valores da lista ordenada do enunciado):
x_{12}=69,7,\qquad x_{13}=69,8.

Passo 5

Interpolar entre x_{12} e x_{13}. A fórmula de interpolação linear é
P_{30}=x_{12} + (L-12)\,(x_{13}-x_{12}),
onde L-12=0,3. Calcular passo a passo:
x_{13}-x_{12}=69,8-69,7=0,1,
(L-12)\,(x_{13}-x_{12})=0,3\cdot 0,1=0,03,
P_{30}=69,7+0,03=69,73.

Passo 6

Interpretação: o valor-corte calculado significa que aproximadamente 30\% dos salários estão abaixo de \,69,73. Em provas muitas vezes aceitam também a abordagem sem interpolação (pegar a 12ª observação =69,7), mas a prática com L= p(n+1) e interpolação fornece um valor mais preciso: \,69,73.

Resposta

69,73

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