3.37 Cronometrando o tempo para várías provas de uma gincana automobilística, encontramos:
Equipe 1: 40 provas
Tempo médio: 45 segundos
Variância: 400 segundos ao quadrado
Equipe 2:
Tempo
20
40
50
80
de provas
10
15
30
5
a) Qual é o coeficiente da variação relativo à equipe 1?
b) Qual é a média da equipe 2?
c) Qual é o desvio-padrão relativo à equipe 2?
d) Qual é a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) Qual foi a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justificar.
f) Qual foi a equipe que apresentou menor dispersão relativa?
Equipe 1: 40 provas
Tempo médio: 45 segundos
Variância: 400 segundos ao quadrado
Equipe 2:
| Tempo | 20 | 40 | 50 | 80 |
|
|
10 | 15 | 30 | 5 |
b) Qual é a média da equipe 2?
c) Qual é o desvio-padrão relativo à equipe 2?
d) Qual é a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) Qual foi a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justificar.
f) Qual foi a equipe que apresentou menor dispersão relativa?
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente cada pergunta e os dados que temos (peguei os números da tabela do enunciado):
Perguntas:
a) Qual é o coeficiente de variação relativo à equipe 1?
b) Qual é a média da equipe 2?
c) Qual é o desvio-padrão da equipe 2?
d) Qual é a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) Qual foi a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justificar.
f) Qual foi a equipe que apresentou menor dispersão relativa?
a) Qual é o coeficiente de variação relativo à equipe 1?
b) Qual é a média da equipe 2?
c) Qual é o desvio-padrão da equipe 2?
d) Qual é a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) Qual foi a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justificar.
f) Qual foi a equipe que apresentou menor dispersão relativa?
Dados fornecidos:
- Equipe 1: número de provas
, média segundos, variância segundos . (Peguei estes valores do enunciado.) - Equipe 2: tabela de tempos (peguei os dados da tabela):
-
com provas -
com provas -
com provas -
com provas
-
Vou usar
para o total de provas da equipe 2 e as fórmulas usuais de média, variância e coeficiente de variação.
Passo 2
(a) Coeficiente de variação da equipe 1 — princípios e cálculo passo a passo.
Primeiro, o desvio-padrão
é a raiz quadrada da variância. Para a equipe 1 já foi dada a variância
. Então:
O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa em relação à média e é definido por
Aqui aplicamos para a equipe 1:
Convertendo para porcentagem (multiplicando por
):
Interpretação rápida: isso significa que o desvio típico é cerca de
da média; é uma medida de dispersão relativa.
Passo 3
(b) Média da equipe 2 — fórmula e cálculo passo a passo.
Para dados em tabela de frequências a média (aritmética) é a média ponderada:
Aqui
é o total de provas da equipe 2, que vamos calcular:
Agora o numerador
:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto a média:
Passo 4
(c) Desvio-padrão da equipe 2 — fórmula (populacional) e cálculo detalhado.
Usarei a fórmula da variância populacional para frequência:
Expliquei as variáveis:
é a frequência,
o valor do tempo,
a média que já calculamos, e
é a variância. Vamos calcular termo a termo (usar
):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Somando esses produtos:
Agora a variância populacional:
E o desvio-padrão:
Passo 5
(d) Média aritmética conjunta das duas equipes — fórmula e cálculo.
Quando se combinam dois grupos, a média global é a média ponderada pelas quantidades de observações:
Substituindo
:
Observação simpática: ambas as equipes têm média
, por isso a média conjunta também é
.
Passo 6
(e) Qual equipe foi mais homogênea? Justificativa.
Interpretando “mais homogênea” como menor dispersão absoluta (desvio-padrão menor), comparamos os desvios:
Como
, a equipe 2 tem dispersão absoluta menor — ou seja, seus tempos estão mais concentrados em torno da média — portanto a equipe 2 apresentou resultados mais homogêneos.
Passo 7
(f) Qual equipe apresentou menor dispersão relativa? Cálculo e conclusão.
A dispersão relativa é medida pelo coeficiente de variação
.
Já calculei
. Para a equipe 2:
Convertendo para porcentagem:
Comparando
com
, a equipe 2 tem menor dispersão relativa. Portanto a equipe 2 apresentou menor dispersão relativa.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) Equipe 2 (mais homogênea, pois ).
f) Equipe 2 (menor dispersão relativa, ).
b)
c)
d)
e) Equipe 2 (mais homogênea, pois
f) Equipe 2 (menor dispersão relativa,