3.37 Cronometrando o tempo para várías provas de uma gincana automobilística, encontramos:
Equipe 1: 40 provas
Tempo médio: 45 segundos
Variância: 400 segundos ao quadrado
Equipe 2:
Tempo 20 40 50 80
\mathrm{~N}^{\circ} de provas 10 15 30 5
a) Qual é o coeficiente da variação relativo à equipe 1?
b) Qual é a média da equipe 2?
c) Qual é o desvio-padrão relativo à equipe 2?
d) Qual é a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) Qual foi a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justificar.
f) Qual foi a equipe que apresentou menor dispersão relativa?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente cada pergunta e os dados que temos (peguei os números da tabela do enunciado):
Perguntas:
a) Qual é o coeficiente de variação relativo à equipe 1?
b) Qual é a média da equipe 2?
c) Qual é o desvio-padrão da equipe 2?
d) Qual é a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) Qual foi a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justificar.
f) Qual foi a equipe que apresentou menor dispersão relativa?
Dados fornecidos:
  • Equipe 1: número de provas n_1 = 40, média \bar{x}_1 = 45 segundos, variância \sigma_1^2 = 400 segundos ^2. (Peguei estes valores do enunciado.)
  • Equipe 2: tabela de tempos (peguei os dados da tabela):
    • x_1 = 20 com f_1 = 10 provas
    • x_2 = 40 com f_2 = 15 provas
    • x_3 = 50 com f_3 = 30 provas
    • x_4 = 80 com f_4 = 5 provas
Vou usar N_2=\sum f_i para o total de provas da equipe 2 e as fórmulas usuais de média, variância e coeficiente de variação.

Passo 2

(a) Coeficiente de variação da equipe 1 — princípios e cálculo passo a passo.
Primeiro, o desvio-padrão \sigma é a raiz quadrada da variância. Para a equipe 1 já foi dada a variância \sigma_1^2=400. Então:
\sigma_1=\sqrt{\sigma_1^2}=\sqrt{400}=20\\ \text{segundos}.
O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa em relação à média e é definido por
\mathrm{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}.
Aqui aplicamos para a equipe 1:
\mathrm{CV}_1=\frac{\sigma_1}{\bar{x}_1}=\frac{20}{45}=0{,}4444\ldots
Convertendo para porcentagem (multiplicando por 100\%):
\mathrm{CV}_1 \approx 44{,}44\%.
Interpretação rápida: isso significa que o desvio típico é cerca de 44{,}44\% da média; é uma medida de dispersão relativa.

Passo 3

(b) Média da equipe 2 — fórmula e cálculo passo a passo.
Para dados em tabela de frequências a média (aritmética) é a média ponderada:
\bar{x}_2=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i}.
Aqui \sum_i f_i é o total de provas da equipe 2, que vamos calcular:
N_2=\sum_i f_i = 10+15+30+5 = 60.
Agora o numerador \sum f_i x_i:
\sum_i f_i x_i = 10\cdot20 + 15\cdot40 + 30\cdot50 + 5\cdot80.
Calcule cada termo:
10\cdot20=200,\quad 15\cdot40=600,\quad 30\cdot50=1500,\quad 5\cdot80=400.
Somando:
\sum_i f_i x_i = 200+600+1500+400 = 2700.
Portanto a média:
\bar{x}_2=\frac{2700}{60}=45\\ \text{segundos}.

Passo 4

(c) Desvio-padrão da equipe 2 — fórmula (populacional) e cálculo detalhado.
Usarei a fórmula da variância populacional para frequência:
\sigma_2^2 = \frac{\sum_i f_i (x_i-\bar{x}_2)^2}{\sum_i f_i}.
Expliquei as variáveis: f_i é a frequência, x_i o valor do tempo, \bar{x}_2 a média que já calculamos, e \sigma_2^2 é a variância. Vamos calcular termo a termo (usar \bar{x}_2=45):
Para x_1=20:
x_1-\bar{x}_2 = 20-45 = -25,\quad (x_1-\bar{x}_2)^2 = 625,\quad f_1\cdot625 = 10\cdot625=6250.
Para x_2=40:
x_2-\bar{x}_2 = 40-45 = -5,\quad (x_2-\bar{x}_2)^2 = 25,\quad f_2\cdot25 = 15\cdot25=375.
Para x_3=50:
x_3-\bar{x}_2 = 50-45 = 5,\quad (x_3-\bar{x}_2)^2 = 25,\quad f_3\cdot25 = 30\cdot25=750.
Para x_4=80:
x_4-\bar{x}_2 = 80-45 = 35,\quad (x_4-\bar{x}_2)^2 = 1225,\quad f_4\cdot1225 = 5\cdot1225=6125.
Somando esses produtos:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x}_2)^2 = 6250 + 375 + 750 + 6125 = 13500.
Agora a variância populacional:
\sigma_2^2 = \frac{13500}{N_2} = \frac{13500}{60} = 225\\ \text{segundos}^2.
E o desvio-padrão:
\sigma_2 = \sqrt{\sigma_2^2} = \sqrt{225} = 15\\ \text{segundos}.

Passo 5

(d) Média aritmética conjunta das duas equipes — fórmula e cálculo.
Quando se combinam dois grupos, a média global é a média ponderada pelas quantidades de observações:
\bar{x}_{\text{total}} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1+n_2}.
Substituindo n_1=40,\\ \bar{x}_1=45,\\ n_2=60,\\ \bar{x}_2=45:
\bar{x}_{\text{total}} = \frac{40\cdot45 + 60\cdot45}{40+60} = \frac{(40+60)\cdot45}{100} = \frac{100\cdot45}{100}=45\\ \text{segundos}.
Observação simpática: ambas as equipes têm média 45, por isso a média conjunta também é 45.

Passo 6

(e) Qual equipe foi mais homogênea? Justificativa.
Interpretando “mais homogênea” como menor dispersão absoluta (desvio-padrão menor), comparamos os desvios:
\sigma_1 = 20\\ \text{segundos},\qquad \sigma_2 = 15\\ \text{segundos}.
Como 15<20, a equipe 2 tem dispersão absoluta menor — ou seja, seus tempos estão mais concentrados em torno da média — portanto a equipe 2 apresentou resultados mais homogêneos.

Passo 7

(f) Qual equipe apresentou menor dispersão relativa? Cálculo e conclusão.
A dispersão relativa é medida pelo coeficiente de variação \mathrm{CV}=\sigma/\bar{x}.
Já calculei \mathrm{CV}_1 \approx 0{,}4444 = 44{,}44\%. Para a equipe 2:
\mathrm{CV}_2=\frac{\sigma_2}{\bar{x}_2}=\frac{15}{45}=0{,}3333\ldots
Convertendo para porcentagem:
\mathrm{CV}_2 \approx 33{,}33\%.
Comparando \mathrm{CV}_1 \approx 44{,}44\% com \mathrm{CV}_2 \approx 33{,}33\%, a equipe 2 tem menor dispersão relativa. Portanto a equipe 2 apresentou menor dispersão relativa.

Resposta

a) \mathrm{CV}_1 \approx 44{,}44\%
b) \bar{x}_2 = 45\\ \text{segundos}
c) \sigma_2 = 15\\ \text{segundos}
d) \bar{x}_{\text{total}} = 45\\ \text{segundos}
e) Equipe 2 (mais homogênea, pois \sigma_2=15<\sigma_1=20).
f) Equipe 2 (menor dispersão relativa, \mathrm{CV}_2\approx33{,}33\% < \mathrm{CV}_1\approx44{,}44\%).

Exercícios relacionados