Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com
de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Qual é a diferença de energia entre o estado fundamental do elétron e o primeiro estado excitado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron preso em um tubo estreito que age como um poço de potencial unidimensional infinito. O que precisamos é descobrir a diferença de energia entre o estado fundamental (o estado com menor energia) e o primeiro estado excitado desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de Física Quântica, especificamente sobre a energia dos níveis quantizados em um poço de potencial infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, em um poço de potencial unidimensional infinito, as energias permitidas para uma partícula (neste caso, o elétron) são dadas pela fórmula:
Aqui:
- $ E_n $ é a energia do estado $ n $,
- $ n $ é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2 para o primeiro estado excitado, etc.),
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $),
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ L $ é o comprimento do poço (no caso, 3 metros).
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos:
- Massa do elétron: $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg
- Comprimento do poço: $ L = 3,0 $ m
- Constante de Planck: $ h = 6,626 \times 10^{-34} $ J·s, então $ \hbar = \frac{6,626 \times 10^{-34}}{2\pi} \approx 1,055 \times 10^{-34} $ J·s
Passo 4
Primeiro, calculamos a energia do estado fundamental ($ n = 1 $):
Vamos simplificar esse cálculo:
Passo 5
Agora, calculamos a energia do primeiro estado excitado ($ n = 2 $):
Resposta
A diferença de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado é aproximadamente $ 2,68 \times 10^{-38} $ joules.