Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com 3,0 m de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Qual é a diferença de energia entre o estado fundamental do elétron e o primeiro estado excitado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron preso em um tubo estreito que age como um poço de potencial unidimensional infinito. O que precisamos é descobrir a diferença de energia entre o estado fundamental (o estado com menor energia) e o primeiro estado excitado desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de Física Quântica, especificamente sobre a energia dos níveis quantizados em um poço de potencial infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, em um poço de potencial unidimensional infinito, as energias permitidas para uma partícula (neste caso, o elétron) são dadas pela fórmula:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui:
  • $ E_n $ é a energia do estado $ n $,
  • $ n $ é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2 para o primeiro estado excitado, etc.),
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $),
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ L $ é o comprimento do poço (no caso, 3 metros).

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • Massa do elétron: $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg
  • Comprimento do poço: $ L = 3,0 $ m
  • Constante de Planck: $ h = 6,626 \times 10^{-34} $ J·s, então $ \hbar = \frac{6,626 \times 10^{-34}}{2\pi} \approx 1,055 \times 10^{-34} $ J·s

Passo 4

Primeiro, calculamos a energia do estado fundamental ($ n = 1 $):
n = 1
Vamos simplificar esse cálculo:
E1 = 1^2 pi^2 (1,055 times 10^-34)^22 times 9,11 times 10^-31 times (3,0)^2
E1 = pi^2 (1,113 times 10^-68)2 times 9,11 times 10^-31 times 9
E1 = pi^2 times 1,113 times 10^-681,64 times 10^-29
E1 approx 1,113 times 10^-68 times 9,871,64 times 10^-29
E1 approx 1,101 times 10^-671,64 times 10^-29

Passo 5

Agora, calculamos a energia do primeiro estado excitado ($ n = 2 $):
n = 2
E2 = 2^2 pi^2 hbar^22 m L^2 = 4 times E1
E2 = 4 times 6,7 times 10^-39 J

Resposta

A diferença de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado é aproximadamente $ 2,68 \times 10^{-38} $ joules.

Exercícios relacionados