Determine as séries de Fourier das extensões periódicas das seguintes funções:
f(t)=t (-pi

Passo 1

Temos a função f(t)=t definida no intervalo -pi < t <= pi. Queremos a série de Fourier de sua extensão periódica de período 2pi. O conteúdo envolvido é série de Fourier, e vamos usar as fórmulas dos coeficientes a0, an e bn e ainda a paridade de f.

Passo 2

As fórmulas dos coeficientes num intervalo simétrico [-pi,pi] são:
a0 = 1piintegral-pi^pi f(t),dt, an = 1piintegral-pi^pi f(t)cos(nt),dt, bn = 1piintegral-pi^pi f(t)sin(nt),dt

Passo 3

Como f(t)=t é função ímpar, as integrais de função ímpar em intervalo simétrico dão zero. Logo, a0=0 e an=0.

Passo 4

Sobram só os bn. Como tsin(nt) é função par, temos:
bn = 2piintegral0^pi tsin(nt),dt

Passo 5

Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Tome u=t e dv=sin(nt),dt, então du=dt e v=-tfrac1ncos(nt). Assim:
integral0^pi tsin(nt),dt = l[-tncos(nt)r]0^pi + 1nintegral0^picos(nt),dt

Passo 6

Sabendo que integral0^picos(nt),dt=0 e cos(npi)=(-1)^n, concluímos:
integral0^pi tsin(nt),dt = -pin(-1)^n

Passo 7

Logo
bn = 2pil(-pin(-1)^nr) = 2(-1)^n+1n

Passo 8

Então a série de Fourier, com somente termos de seno, fica:
f(t) = sumn=1^infty bnsin(nt) = 2sumn=1^infty (-1)^n+1nsin(nt)

Resposta

f(t) = 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin(nt).

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