Determine as séries de Fourier das extensões periódicas das seguintes funções:
Passo 1
Temos a função
definida no intervalo
. Queremos a série de Fourier de sua extensão periódica de período
. O conteúdo envolvido é série de Fourier, e vamos usar as fórmulas dos coeficientes
,
e
e ainda a paridade de
.
Passo 2
As fórmulas dos coeficientes num intervalo simétrico
são:
Passo 3
Como
é função ímpar, as integrais de função ímpar em intervalo simétrico dão zero. Logo,
e
.
Passo 4
Sobram só os
. Como
é função par, temos:
Passo 5
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Tome
e
, então
e
. Assim:
Passo 6
Sabendo que
e
, concluímos:
Passo 7
Logo
Passo 8
Então a série de Fourier, com somente termos de seno, fica: