Um topográfo precisa avaliar a distância e a diferença de nível entre dois pontos do terreno. Para essa tarefa ele utilizou um teodolito e uma régua gradua. Considerando que a altura do equipamento em relação ao solo foi de 148 cm , baseado na leitura do retículo da luneta e o ângulo registrado pelo aparelho que foi de 6^{\circ} 12^{\prime} 30^{\prime \prime} (visada ascendente). Calcule a distância horizontal e a diferença de nível entre os dois pontos. (Leitura: \mathrm{FS}=1,90 e \mathrm{FI}=1,10 ).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos usando um teodolito com régua graduada. Informações dadas:
\mathrm{h_{inst}}=148\\ \text{cm} (altura do instrumento em relação ao solo),
ângulo de visada ascendente \alpha=6^\circ 12' 30'',
leituras do retículo da luneta: \mathrm{FS}=1,90 e \mathrm{FI}=1,10.
Perguntas: calcular (1) a distância horizontal entre os dois pontos e (2) a diferença de nível entre os dois pontos.

Passo 2

Entendendo as leituras do retículo (aula rápida e prática):
  • A régua graduada colocada no ponto alvo é lida em duas marcas pelo retículo: leitura superior \mathrm{FS} e leitura inferior \mathrm{FI}.
  • O intervalo estadiométrico s é a diferença entre essas leituras:
s=\mathrm{FS}-\mathrm{FI}.
  • A leitura central (a posição do cruzamento central do retículo no bastão) é a média:
R=\frac{\mathrm{FS}+\mathrm{FI}}{2}.
  • Na taqueometria estadiométrica padrão assume-se o fator estadiométrico (constante stadia) k=100 e constante aditiva c=0 (instrumento típico). Então a distância inclinada (distância ao longo da linha de mira) é dada por
l = k\cdot s + c \approx 100\cdot s.
Aplicando aos números dados:
s=1,90-1,10=0,80\\ \text{m},
R=\frac{1,90+1,10}{2}=1,50\\ \text{m},
l=100\cdot 0,80=80\\ \text{m}.

Passo 3

Converter o ângulo de graus-minutos-segundos para grau decimal (para usar seno e cosseno):
\alpha=6^\circ 12' 30''=6^\circ+\frac{12}{60}^\circ+\frac{30}{3600}^\circ=6,208333\ldots^\circ.
Para os cálculos trigonométricos usamos os valores:
\sin\alpha\approx0,108132,\qquad \cos\alpha\approx0,994137.
(esses valores vêm da avaliação da função seno e cosseno para \alpha=6,208333^\circ; mostrei aproximações suficientes para cálculo manual com boa precisão.)

Passo 4

Calcular a distância horizontal d.
Explicação: a distância inclinada l projetada na horizontal é l\cos\alpha, porque o cosseno dá a razão entre cateto adjacente (horizontal) e a hipotenusa (linha de mira).
d = l\cos\alpha = 80\cdot 0,994137 \approx 79,53096\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a componente vertical da linha de mira (subida desde o centro do instrumento até o ponto de interseção no bastão):
\Delta_{linha} = l\sin\alpha = 80\cdot 0,108132 \approx 8,65056\\ \text{m}.
Isso é a variação de altura da linha de visada entre o centro do instrumento e o ponto onde a cruz do retículo intercepta o bastão.

Passo 6

Relacionar alturas para obter a diferença de nível entre os pontos (aula de justificativa geométrica):
  • Elevação do centro do instrumento em relação ao solo do ponto A é \mathrm{h_{inst}}=1,48\\ \text{m} (convertemos 148\\ \text{cm}=1,48\\ \text{m}).
  • A cruz do retículo intercepta o bastão no ponto B a uma altura R=1,50\\ \text{m} acima do solo em B (obtida no Passo 2).
  • A elevação da cruz do retículo também é (elevação do ponto A + \mathrm{h_{inst}} + \Delta_{linha}).
    Igualando as duas expressões para a elevação da cruz do retículo:
H_A+\mathrm{h_{inst}}+\Delta_{linha}=H_B+R,
onde H_A e H_B são as cotas (elevações) dos pontos A e B. Então a diferença de nível \Delta H=H_B-H_A é
\Delta H = \mathrm{h_{inst}}+\Delta_{linha}-R.
Substituindo valores:
\Delta H = 1,48 + 8,65056 - 1,50 = 8,63056\\ \text{m}.

Passo 7

Arredondamentos finais e interpretação:
  • Distância horizontal: d\approx79,53096\\ \text{m}, arredondando para centímetros fica 79,53\\ \text{m}.
  • Diferença de nível: \Delta H\approx8,63056\\ \text{m}, arredondando para centímetros fica 8,63\\ \text{m}.
    Observação: como a visada foi ascendente e \Delta H>0, o ponto B está mais alto do que o ponto A por 8,63\\ \text{m}. Também observei a suposição padrão k=100 e c=0 (constante estadiométrica típica); se o enunciado desse outra constante, seria preciso usá-la.

Resposta

\text{Distância horizontal} = 79,53\\ \text{m}â
\text{Diferença de nível (B - A)} = 8,63\\ \text{m}çí

Exercícios relacionados