Um topográfo precisa avaliar a distância e a diferença de nível entre dois pontos do terreno. Para essa tarefa ele utilizou um teodolito e uma régua gradua. Considerando que a altura do equipamento em relação ao solo foi de 148 cm , baseado na leitura do retículo da luneta e o ângulo registrado pelo aparelho que foi de
(visada ascendente). Calcule a distância horizontal e a diferença de nível entre os dois pontos. (Leitura:
e
).
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos usando um teodolito com régua graduada. Informações dadas:
(altura do instrumento em relação ao solo),
ângulo de visada ascendente ,
leituras do retículo da luneta: e
.
Perguntas: calcular (1) a distância horizontal entre os dois pontos e (2) a diferença de nível entre os dois pontos.
ângulo de visada ascendente
leituras do retículo da luneta:
Perguntas: calcular (1) a distância horizontal entre os dois pontos e (2) a diferença de nível entre os dois pontos.
Passo 2
Entendendo as leituras do retículo (aula rápida e prática):
- A régua graduada colocada no ponto alvo é lida em duas marcas pelo retículo: leitura superior
e leitura inferior . - O intervalo estadiométrico
é a diferença entre essas leituras:
- A leitura central (a posição do cruzamento central do retículo no bastão) é a média:
- Na taqueometria estadiométrica padrão assume-se o fator estadiométrico (constante stadia)
e constante aditiva (instrumento típico). Então a distância inclinada (distância ao longo da linha de mira) é dada por
Aplicando aos números dados:
Passo 3
Converter o ângulo de graus-minutos-segundos para grau decimal (para usar seno e cosseno):
Para os cálculos trigonométricos usamos os valores:
(esses valores vêm da avaliação da função seno e cosseno para
; mostrei aproximações suficientes para cálculo manual com boa precisão.)
Passo 4
Calcular a distância horizontal
.
Explicação: a distância inclinada projetada na horizontal é
, porque o cosseno dá a razão entre cateto adjacente (horizontal) e a hipotenusa (linha de mira).
Explicação: a distância inclinada
Passo 5
Calcular a componente vertical da linha de mira (subida desde o centro do instrumento até o ponto de interseção no bastão):
Isso é a variação de altura da linha de visada entre o centro do instrumento e o ponto onde a cruz do retículo intercepta o bastão.
Passo 6
Relacionar alturas para obter a diferença de nível entre os pontos (aula de justificativa geométrica):
- Elevação do centro do instrumento em relação ao solo do ponto A é
(convertemos ). - A cruz do retículo intercepta o bastão no ponto B a uma altura
acima do solo em B (obtida no Passo 2). - A elevação da cruz do retículo também é (elevação do ponto A +
+ ).
Igualando as duas expressões para a elevação da cruz do retículo:
onde
e
são as cotas (elevações) dos pontos A e B. Então a diferença de nível
é
Substituindo valores:
Passo 7
Arredondamentos finais e interpretação:
- Distância horizontal:
, arredondando para centímetros fica . - Diferença de nível:
, arredondando para centímetros fica .
Observação: como a visada foi ascendente e, o ponto B está mais alto do que o ponto A por . Também observei a suposição padrão e (constante estadiométrica típica); se o enunciado desse outra constante, seria preciso usá-la.