Sejam
uma sequência de conjuntos não-vazios satisfazendo
. Dê exemplos mostrando que
pode ser vazia se:
(a) os
's são apenas fechados;
(a) os
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência de conjuntos não-vazios
tais que
(ou seja, uma sequência decrescente) em que cada
é fechado, mas a interseção total
é vazia. Vou fornecer um exemplo concreto e provar passo a passo que ele satisfaz todas as condições.
Passo 2
Definição útil (bem mastigada): um conjunto
é fechado quando contém todos os seus pontos-limite — de forma prática, em
um conjunto do tipo
é fechado porque o seu complemento
é aberto. Isso significa que, se uma sequência em
converge, o limite também pertence a
.
Agora proponho o exemplo simples
Passo 3
Verificação 1 — cada
é não-vazio e fechado:
- Não-vazio: para todo
existe, por exemplo, o número que pertence a , então . - Fechado:
é fechado em porque seu complemento é aberto. Outra forma de ver: se uma sequência em converge para , então todos os termos são e o limite também satisfaz , logo .
Passo 4
Verificação 2 — a sequência é decrescente (
):
Para todo e para todo
temos
. Como
, segue
, logo
. Assim
para todo
, ou seja, a família é realmente decrescente.
Para todo
Passo 5
Verificação 3 — a interseção é vazia:
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista . Isso significa que
para todo
, isto é,
para todo
. Mas isso é impossível em
: dado qualquer real
existe um inteiro
com
(os naturais não são limitados acima), então não pode haver
que satisfaça
para todos os
. Logo não existe tal
e
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista
Passo 6
Comentário didático e encorajador: este exemplo mostra que fechar cada conjunto não garante que a interseção de uma sequência decrescente de fechados não seja vazia — o problema aqui é que os conjuntos vão “escapando para o infinito” (são não limitados). Se além de serem fechados os conjuntos fossem também limitados (ou seja, compactos em
), existe um teorema (o princípio das interseções decrescentes para compactos, consequência de Heine–Borel) que garante que a interseção não é vazia. Mas como você acabou de ver, sem essa condição extra a interseção pode perfeitamente ser vazia. Força nos estudos — você já entendeu a ideia essencial!