Sejam F_{n} \subset \mathbb{R} uma sequência de conjuntos não-vazios satisfazendo F_{n} \subset F_{n-1}. Dê exemplos mostrando que \bigcap_{i \in \mathbb{N}} F_{i} pode ser vazia se:
(a) os F_{i} 's são apenas fechados;

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência de conjuntos não-vazios F_{n}\subset\mathbb{R} tais que F_{n}\subset F_{n-1} (ou seja, uma sequência decrescente) em que cada F_{n} é fechado, mas a interseção total \bigcap_{n\in\mathbb{N}} F_{n} é vazia. Vou fornecer um exemplo concreto e provar passo a passo que ele satisfaz todas as condições.

Passo 2

Definição útil (bem mastigada): um conjunto A\subset\mathbb{R} é fechado quando contém todos os seus pontos-limite — de forma prática, em \mathbb{R} um conjunto do tipo [a,\infty) é fechado porque o seu complemento (-\infty,a) é aberto. Isso significa que, se uma sequência em [a,\infty) converge, o limite também pertence a [a,\infty).
Agora proponho o exemplo simples
F_n = [n,\infty),\qquad n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Verificação 1 — cada F_n é não-vazio e fechado:
  • Não-vazio: para todo n existe, por exemplo, o número n que pertence a F_n, então F_n\neq\varnothing.
  • Fechado: [n,\infty) é fechado em \mathbb{R} porque seu complemento (-\infty,n) é aberto. Outra forma de ver: se uma sequência em [n,\infty) converge para x, então todos os termos são \ge n e o limite x também satisfaz x\ge n, logo x\in [n,\infty).

Passo 4

Verificação 2 — a sequência é decrescente ( F_n\subset F_{n-1}):
Para todo n\ge 2 e para todo x\in F_n temos x\ge n. Como n\ge n-1, segue x\ge n-1, logo x\in F_{n-1}. Assim F_n\subset F_{n-1} para todo n, ou seja, a família é realmente decrescente.

Passo 5

Verificação 3 — a interseção é vazia:
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} F_n. Isso significa que x\in F_n para todo n, isto é, x\ge n para todo n\in\mathbb{N}. Mas isso é impossível em \mathbb{R}: dado qualquer real x existe um inteiro n com n>x (os naturais não são limitados acima), então não pode haver x que satisfaça x\ge n para todos os n. Logo não existe tal x e
\bigcap_{n\in\mathbb{N}} F_n = \varnothing.

Passo 6

Comentário didático e encorajador: este exemplo mostra que fechar cada conjunto não garante que a interseção de uma sequência decrescente de fechados não seja vazia — o problema aqui é que os conjuntos vão “escapando para o infinito” (são não limitados). Se além de serem fechados os conjuntos fossem também limitados (ou seja, compactos em \mathbb{R}), existe um teorema (o princípio das interseções decrescentes para compactos, consequência de Heine–Borel) que garante que a interseção não é vazia. Mas como você acabou de ver, sem essa condição extra a interseção pode perfeitamente ser vazia. Força nos estudos — você já entendeu a ideia essencial!

Resposta

F_n=[n,\infty)\quad (n\in\mathbb{N}),\qquad \bigcap_{n\in\mathbb{N}} F_n=\varnothing.

Exercícios relacionados