De uma tora de madeira de forma cilíndrica, com altura h e raio R, deseja-se extrair uma viga, de base retangular, com o menor desperdício possível de madeira. Determine, em função de h e R, as dimensões dessa viga.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de madeira de raio R e altura h do qual queremos extrair uma viga prismática com base retangular e altura igual a h. Como a altura é fixa, maximizar o volume da viga equivale a maximizar a área da base retangular inscrita num círculo de raio R.

Passo 2

Sejam a e b os lados da base retangular. O volume da viga é
V = a,b,h,
portanto, para maximizar V basta maximizar a área
A = a,b
Como a base deve caber dentro do círculo de raio R, os vértices do retângulo satisfazem
l(tfraca2r)^2 + l(tfracb2r)^2 = R^2

Passo 3

Usamos multiplicadores de Lagrange para maximizar f(a,b)=ab sujeita a
g(a,b)=l(tfraca2r)^2+l(tfracb2r)^2-R^2=0
Definindo
L(a,b,lambda)=ab - lambdal[l(tfraca2r)^2+l(tfracb2r)^2-R^2r],
as condições de ótimo são
partialLpartial a=b - lambdaa2=0, partialLpartial b=a - lambdab2=0
Da primeira vem b=tfraclambda2a e da segunda a=tfraclambda2b, o que implica a=b.

Passo 4

Substituindo a=b na restrição
2l(tfraca2r)^2=R^2 Longrightarrow a^2=2,R^2 Longrightarrow a=raiz2,R
Logo b=raiz2,R.

Resposta

As dimensões da viga de menor desperdício são
base retangular com lados
a = raiz2,R, b = raiz2,R,
e altura
h

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