De uma tora de madeira de forma cilíndrica, com altura
e raio
, deseja-se extrair uma viga, de base retangular, com o menor desperdício possível de madeira. Determine, em função de
e
, as dimensões dessa viga.
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro de madeira de raio
e altura
do qual queremos extrair uma viga prismática com base retangular e altura igual a
. Como a altura é fixa, maximizar o volume da viga equivale a maximizar a área da base retangular inscrita num círculo de raio
.
Passo 2
Sejam
e
os lados da base retangular. O volume da viga é
portanto, para maximizar
basta maximizar a área
Como a base deve caber dentro do círculo de raio
, os vértices do retângulo satisfazem
Passo 3
Usamos multiplicadores de Lagrange para maximizar
sujeita a
Definindo
as condições de ótimo são
Da primeira vem
e da segunda
, o que implica
.
Passo 4
Substituindo
na restrição
Logo
.
Resposta
As dimensões da viga de menor desperdício são
base retangular com lados
base retangular com lados
e altura