Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de
no intervalo dado.
, em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função \r
no intervalo
e pede os extremos locais e absolutos. Para isso, vamos calcular a derivada, encontrar os pontos críticos, classificar os extremos com a segunda derivada e comparar os valores em pontos críticos e extremos do intervalo.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia: \r
Para achar os pontos críticos, resolvemos \r
Passo 3
Para classificar o ponto
, usamos a segunda derivada. Primeiro derivamos novamente: \r
Em
temos \r
logo
é ponto de mínimo local. Não há outro ponto crítico interior, então não há máximo local no interior.
Passo 4
Agora comparamos valores de
em
(crítico) e nos extremos
e
: \r
Como
, concluímos que o menor valor de
em
é
em
e o maior valor é
em
e
.
Resposta
O único mínimo local é em
, com valor
. \r
Não há máximo local no interior. \r
O mínimo absoluto em ocorre em
, valendo
. \r
O máximo absoluto em ocorre em
e em
, valendo
.
Não há máximo local no interior. \r
O mínimo absoluto em
O máximo absoluto em