Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=ln (x^2+1), em [-1,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a função \r
f(x) = lnl(x^2 + 1r) \r
no intervalo [-1,1] e pede os extremos locais e absolutos. Para isso, vamos calcular a derivada, encontrar os pontos críticos, classificar os extremos com a segunda derivada e comparar os valores em pontos críticos e extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia: \r
f'(x) = 1x^2+1cdot 2x = 2xx^2+1 \r
Para achar os pontos críticos, resolvemos \r
f'(x)=0 ;Longrightarrow; 2xx^2+1=0 ;Longrightarrow; x=0

Passo 3

Para classificar o ponto x=0, usamos a segunda derivada. Primeiro derivamos novamente: \r
f''(x) = ddx!l(2xx^2+1r) = 2(x^2+1) - 2xcdot 2x(x^2+1)^2 = 2-2x^2(x^2+1)^2 \r
Em x=0 temos \r
f''(0) = 2-01^2 = 2 > 0, \r
logo x=0 é ponto de mínimo local. Não há outro ponto crítico interior, então não há máximo local no interior.

Passo 4

Agora comparamos valores de f em x=0 (crítico) e nos extremos x=-1 e x=1: \r
f(0)=ln(0^2+1)=ln(1)=0,
f(1)=ln(1^2+1)=ln(2),
f(-1)=ln((-1)^2+1)=ln(2) \r
Como ln(2)>0, concluímos que o menor valor de f em [-1,1] é 0 em x=0 e o maior valor é ln(2) em x=-1 e x=1.

Resposta

O único mínimo local é em x=0, com valor f(0)=0. \r
Não há máximo local no interior. \r
O mínimo absoluto em [-1,1] ocorre em x=0, valendo 0. \r
O máximo absoluto em [-1,1] ocorre em x=-1 e em x=1, valendo ln(2).

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