Os leitos de dois rios (em certa região) são representados aproximadamente pela parábola
e a reta
. Deseja-se conectá-los por um canal de comprimento mínimo. Através de quais pontos ele passará?
Passo 1
O enunciado dá duas curvas no plano: a parábola
e a reta
, isto é,
. Queremos construir um canal reto de comprimento mínimo que ligue um ponto
na parábola a um ponto
na reta. Isso é um problema de otimização de distância entre duas curvas.
Passo 2
Para achar a menor distância entre duas curvas suaves, o segmento que liga os pontos mínimos deve ser ortogonal às tangentes em ambos os pontos.
- Se
está na parábola, sua reta tangente tem coeficiente angular e direção . - Se
está na reta , sua tangente tem coeficiente angular e direção .
Passo 3
Chamando
, as condições de ortogonalidade são
Escrevendo-as:
Passo 4
Da segunda equação:
Da primeira:
Isolando
e substituindo na outra, obtém-se a equação cúbica
cuja única raiz real é
.
Passo 5
Substituindo
em
vem
Passo 6
Assim
Resposta
O canal de menor comprimento liga os pontos