Os leitos de dois rios (em certa região) são representados aproximadamente pela parábola y=x^2 e a reta x-y-2=0. Deseja-se conectá-los por um canal de comprimento mínimo. Através de quais pontos ele passará?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas no plano: a parábola ;y=x^2; e a reta ;x - y - 2 = 0, isto é, ;y = x - 2. Queremos construir um canal reto de comprimento mínimo que ligue um ponto P1 na parábola a um ponto P2 na reta. Isso é um problema de otimização de distância entre duas curvas.

Passo 2

Para achar a menor distância entre duas curvas suaves, o segmento que liga os pontos mínimos deve ser ortogonal às tangentes em ambos os pontos.
  • Se P1=(x1,x1^2) está na parábola, sua reta tangente tem coeficiente angular m1=2x1 e direção (1,2x1).
  • Se P2=(x2,y2) está na reta y2=x2-2, sua tangente tem coeficiente angular m2=1 e direção (1,1).

Passo 3

Chamando v=P2-P1=(x2-x1,;x2-2 - x1^2), as condições de ortogonalidade são
vcdot(1,2x1)=0, vcdot(1,1)=0
Escrevendo-as:
(x2-x1)+2x1l(x2-2 - x1^2r)=0,
(x2-x1)+(x2-2 - x1^2)=0

Passo 4

Da segunda equação:
(x2 - x1)+(x2 - 2 - x1^2)=0 ;Longrightarrow; 2x2 - x1 - x1^2 - 2 = 0
Da primeira:
x2 - x1 + 2x1,(x2 - 2 - x1^2)=0 ;Longrightarrow; x2(1+2x1)=5x1+2x1^3
Isolando x2 e substituindo na outra, obtém-se a equação cúbica
2x1^3 - 3x1^2 + 5x1 - 2 = 0,
cuja única raiz real é x1=tfrac12.

Passo 5

Substituindo x1=tfrac12 em
2x2 - x1 - x1^2 - 2 = 0
vem
2x2 - tfrac12 - tfrac14 - 2 = 0 ;Longrightarrow; 2x2 = tfrac114 ;Longrightarrow; x2 = tfrac118

Passo 6

Assim
P1 = l(tfrac12,;l(tfrac12r)^2r) = l(tfrac12,;tfrac14r), P2 = l(tfrac118,;tfrac118-2r) = l(tfrac118,;-tfrac58r)

Resposta

O canal de menor comprimento liga os pontos
P1=l(tfrac12,tfrac14r) e P2=l(tfrac118,-tfrac58r)

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