Para um torneio de basquete, foram convocados 12 jogadores. O time titular, com 5 jogadores, tinha altura média de 2,04 metros, enquanto a média entre os demais (reservas) era de 2,01 metros. Às vésperas de um jogo, um titular se machucou, foi substituído por um reserva e, assim, ficou de fora do torneio. Com isso, a altura média do time titular aumentou 2 cm e a dos reservas diminuiu 1,5 \mathrm{~cm}.
a) Qual a altura do jogador titular que se contundiu?
b) Qual a altura do jogador reserva que o substituiu?

Passo 1

O enunciado nos dá um grupo inicial de 12 jogadores, sendo 5 titulares com altura média de 2,04 m e 7 reservas com média de 2,01 m. Um titular de altura h_{1} sai do torneio e é substituído por um reserva de altura h_{2}. Após essa troca, o time titular (ainda com 5 jogadores) fica com média 2,04+0,02=2,06 m, e o grupo de reservas (agora com 6 jogadores) tem média 2,01-0,015=1,995 m. Vamos usar a relação média = soma/número de elementos para montar equações que nos levem a h_{1} e h_{2}.

Passo 2

Calcular a soma total de alturas antes da troca:
S_{T} = 5 \times 2,04 = 10,20\quad(\text{m})
S_{R} = 7 \times 2,01 = 14,07\quad(\text{m})

Passo 3

Calcular a soma total de alturas depois da troca:
S'_{T} = 5 \times 2,06 = 10,30\quad(\text{m})
S'_{R} = 6 \times 1,995 = 11,97\quad(\text{m})

Passo 4

Expressar as somas novas em função de h_{1} e h_{2}:
o titular lesionado sai do grupo com soma S_{T} e o reserva h_{2} entra, logo
S'_{T} = S_{T} - h_{1} + h_{2}
nos reservas, sai o que foi para o time titular, então
S'_{R} = S_{R} - h_{2}

Passo 5

Usar \;14,07 - h_{2} = 11,97\; para achar h_{2}:
h_{2} = 14,07 - 11,97 = 2,10\quad(\text{m})
Substituir em \;10,20 - h_{1} + h_{2} = 10,30\; para achar h_{1}:
10,20 - h_{1} + 2,10 = 10,30 \quad\Rightarrow\quad -h_{1} = 10,30 - 10,20 - 2,10 = -2,00
h_{1} = 2,00\quad(\text{m})

Resposta

a) 2,00 m
b) 2,10 m

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