Seja ( X, Y ) um vetor aleatório tendo X e Y distribuições independentes e U(0,1).
(a) Obtenha a distribuição conjunta de W e Z em que W=X+Y e Z=X-Y.
(b) W e Z são independentes?
Passo 1
O enunciado nos dá duas v.a. X e Y independentes, cada uma com distribuição uniforme em (0,1). Definimos
W = X + Y, \quad Z = X - Y.
Queremos (a) encontrar a densidade conjunta de (W,Z) e (b) verificar se W e Z são independentes. Para isso, vamos usar a técnica de mudança de variável com jacobiano e depois comparar com o produto das marginais.
Passo 2
Primeiro escrevemos a inversa da transformação (x,y)\mapsto(w,z). Temos
sempre que (w,z) satisfaz as desigualdades do Passo 3, e vale zero fora.
Passo 5
Para ver se W\) e \(Z\) são independentes, calculamos as marginais.
\[f_W(w) =\int f_{W,Z}(w,z)\,dz =\frac12\times \begin{cases} \text{comprimento de }[-w,w]=2w, &0<w\le1,\\\ \text{comprimento de }[w-2,2-w]=2(2-w), &1<w\le2, \end{cases}
Se fossem independentes, teríamos \tfrac12=f_{W,Z}(w,z)=f_W(w)\,f_Z(z)\] em todo o suporte, o que não ocorre (por exemplo em \(w=1,z=0 daria 1\neq\tfrac12).