Seja ( X, Y ) um vetor aleatório tendo X e Y distribuições independentes e U(0,1).
(a) Obtenha a distribuição conjunta de W e Z em que W=X+Y e Z=X-Y.
(b) W e Z são independentes?

Passo 1

O enunciado nos dá duas v.a. X e Y independentes, cada uma com distribuição uniforme em (0,1). Definimos
W = X + Y, \quad Z = X - Y.
Queremos (a) encontrar a densidade conjunta de (W,Z) e (b) verificar se W e Z são independentes. Para isso, vamos usar a técnica de mudança de variável com jacobiano e depois comparar com o produto das marginais.

Passo 2

Primeiro escrevemos a inversa da transformação (x,y)\mapsto(w,z). Temos
x = \frac{w+z}{2}, \quad y = \frac{w-z}{2}.
O jacobiano dessa transformação é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z}\\\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\[6pt] \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix} =-\tfrac12,
logo \bigl|J\bigr|=\tfrac12.]

Passo 3

Agora determinamos o suporte. Como 0\le x\le1\) e \(0\le y\le1\), impomos \[0\le\frac{w+z}{2}\le1, \quad 0\le\frac{w-z}{2}\le1.
Isto equivale a
0\le w+z\le2, \quad 0\le w-z\le2.
Dessas duas condições segue que, para cada w, z deve satisfazer simultaneamente
-w\le z\le w \quad\text{e}\quad w-2\le z\le 2-w.
A interseção desses intervalos é
\begin{cases} -w\le z\le w, & 0<w\le1,\\\ w-2\le z\le 2-w, & 1<w\le2,\\\ \text{nenhum \(z}, &caso contrário. \end{cases}]

Passo 4

Dentro desse suporte temos f_{X,Y}(x,y)=1. Pela fórmula da transformação,
f_{W,Z}(w,z) = f_{X,Y}\bigl(\tfrac{w+z}{2},\tfrac{w-z}{2}\bigr)\,\bigl|J\bigr| =1\cdot\tfrac12 =\tfrac12
sempre que (w,z) satisfaz as desigualdades do Passo 3, e vale zero fora.

Passo 5

Para ver se W\) e \(Z\) são independentes, calculamos as marginais. \[f_W(w) =\int f_{W,Z}(w,z)\,dz =\frac12\times \begin{cases} \text{comprimento de }[-w,w]=2w, &0<w\le1,\\\ \text{comprimento de }[w-2,2-w]=2(2-w), &1<w\le2, \end{cases}
logo
f_W(w)= \begin{cases} w, &0<w\le1,\\\\ 2-w, &1<w\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e
f_Z(z) =\int f_{W,Z}(w,z)\,dw =\frac12\bigl((2-\lvert z\rvert)-\lvert z\rvert\bigr) =1-\lvert z\rvert, \quad -1<z<1.
Se fossem independentes, teríamos
\tfrac12=f_{W,Z}(w,z)=f_W(w)\,f_Z(z)\] em todo o suporte, o que não ocorre (por exemplo em \(w=1,z=0 daria 1\neq\tfrac12).

Resposta

(a) A densidade conjunta é
f_{W,Z}(w,z)= \begin{cases} \tfrac12,& \begin{aligned} 0<w\le1,\;-w\le z\le w,\\\\ 1<w\le2,\;w-2\le z\le2-w, \end{aligned} \\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(b) W e Z não são independentes.

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