Em um torneio de squash entre três jogadores, A, B e C, cada um dos competidores enfrenta todos os demais uma única vez (isto é, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C). Assuma as seguintes probabilidades: P(A vença B) = 0,6, P(A vença C) = 0,7, P(B vença C) = 0,6. Assumindo independência entre os resultados das partidas, qual a probabilidade de que A vença um número de partidas pelo menos tão grande quanto qualquer outro jogador?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um torneio de squash com três jogadores: A, B e C. Cada jogador enfrenta os outros uma vez, ou seja, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C. As probabilidades de vitória são:
- P(A vence B) = 0,6
- P(A vence C) = 0,7
- P(B vence C) = 0,6
Queremos descobrir qual é a probabilidade de o jogador A vencer pelo menos tantas partidas quanto qualquer outro jogador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória, considerando que os resultados das partidas são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as partidas e seus possíveis resultados. As partidas são:
- A vs B
- A vs C
- B vs C
Cada partida tem dois possíveis resultados: um jogador vence ou o outro vence. Como são três partidas, temos um total de
possíveis combinações de resultados.
Passo 3
Vamos listar todas as possíveis combinações de resultados e calcular a probabilidade de cada uma ocorrer. Para isso, vamos considerar que os resultados são independentes, ou seja, o resultado de uma partida não afeta o resultado das outras.
As combinações são:
- A vence B, A vence C, B vence C
- A vence B, A vence C, C vence B
- A vence B, C vence A, B vence C
- A vence B, C vence A, C vence B
- B vence A, A vence C, B vence C
- B vence A, A vence C, C vence B
- B vence A, C vence A, B vence C
- B vence A, C vence A, C vence B
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
Passo 5
Em seguida, para cada combinação, vamos contar quantas partidas cada jogador venceu:
- A venceu 2 (B e C), B venceu 1 ©, C venceu 0
- A venceu 2 (B e C), B venceu 0, C venceu 1 (B)
- A venceu 1 (B), B venceu 1 ©, C venceu 1 (A)
- A venceu 1 (B), B vence 0, C vence 2 (A e B)
- A venceu 1 ©, B venceu 1 (A e C), C vence 0
- A venceu 1 ©, B vence 1 (A), C vence 1 (B)
- A venceu 0, B vence 1 ©, C vence 2 (A e B)
- A venceu 0, B vence 0, C vence 2 (A e B)
Passo 6
Agora, vamos identificar quais dessas combinações satisfazem a condição de que A vence pelo menos tantas partidas quanto qualquer outro jogador:
- A:2, B:1, C:0 → A >= B e A >= C → Sim
- A:2, B:0, C:1 → A >= B e A >= C → Sim
- A:1, B:1, C:1 → A >= B e A >= C → Sim
- A:1, B:0, C:2 → A >= B? Sim (1 >= 0), mas A >= C? Não (1 < 2) → Não
- A:1, B:1, C:0 → A >= B e A >= C → Sim
- A:1, B:1, C:1 → A >= B e A >= C → Sim
- A:0, B:1, C:2 → A >= B? Não (0 < 1) → Não
- A:0, B:0, C:2 → A >= B? Sim (0 = 0), mas A >= C? Não (0 < 2) → Não
Passo 7
As combinações que atendem à condição são as de número: 1, 2, 3, 5 e 6. Vamos somar as probabilidades dessas combinações:
Resposta
A probabilidade de que o jogador A vença pelo menos tantas partidas quanto qualquer outro jogador é de 80,8%.