Em um torneio de squash entre três jogadores, A, B e C, cada um dos competidores enfrenta todos os demais uma única vez (isto é, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C). Assuma as seguintes probabilidades: P(A vença B) = 0,6, P(A vença C) = 0,7, P(B vença C) = 0,6. Assumindo independência entre os resultados das partidas, qual a probabilidade de que A vença um número de partidas pelo menos tão grande quanto qualquer outro jogador?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um torneio de squash com três jogadores: A, B e C. Cada jogador enfrenta os outros uma vez, ou seja, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C. As probabilidades de vitória são:
  • P(A vence B) = 0,6
  • P(A vence C) = 0,7
  • P(B vence C) = 0,6
Queremos descobrir qual é a probabilidade de o jogador A vencer pelo menos tantas partidas quanto qualquer outro jogador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória, considerando que os resultados das partidas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as partidas e seus possíveis resultados. As partidas são:
  1. A vs B
  2. A vs C
  3. B vs C
Cada partida tem dois possíveis resultados: um jogador vence ou o outro vence. Como são três partidas, temos um total de 2^3 = 8 possíveis combinações de resultados.

Passo 3

Vamos listar todas as possíveis combinações de resultados e calcular a probabilidade de cada uma ocorrer. Para isso, vamos considerar que os resultados são independentes, ou seja, o resultado de uma partida não afeta o resultado das outras.
As combinações são:
  1. A vence B, A vence C, B vence C
  2. A vence B, A vence C, C vence B
  3. A vence B, C vence A, B vence C
  4. A vence B, C vence A, C vence B
  5. B vence A, A vence C, B vence C
  6. B vence A, A vence C, C vence B
  7. B vence A, C vence A, B vence C
  8. B vence A, C vence A, C vence B

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
  1. P(A vence B) times P(A vence C) times P(B vence C) = 0,6 times 0,7 times 0,6 = 0,252
  2. 0,6 times 0,7 times (1 - 0,6) = 0,6 times 0,7 times 0,4 = 0,168
  3. 0,6 times (1 - 0,7) times 0,6 = 0,6 times 0,3 times 0,6 = 0,108
  4. 0,6 times (1 - 0,7) times (1 - 0,6) = 0,6 times 0,3 times 0,4 = 0,072
  5. (1 - 0,6) times 0,7 times 0,6 = 0,4 times 0,7 times 0,6 = 0,168
  6. 0,4 times 0,7 times (1 - 0,6) = 0,4 times 0,7 times 0,4 = 0,112
  7. 0,4 times (1 - 0,7) times 0,6 = 0,4 times 0,3 times 0,6 = 0,072
  8. 0,4 times (1 - 0,7) times (1 - 0,6) = 0,4 times 0,3 times 0,4 = 0,048

Passo 5

Em seguida, para cada combinação, vamos contar quantas partidas cada jogador venceu:
  1. A venceu 2 (B e C), B venceu 1 ©, C venceu 0
  2. A venceu 2 (B e C), B venceu 0, C venceu 1 (B)
  3. A venceu 1 (B), B venceu 1 ©, C venceu 1 (A)
  4. A venceu 1 (B), B vence 0, C vence 2 (A e B)
  5. A venceu 1 ©, B venceu 1 (A e C), C vence 0
  6. A venceu 1 ©, B vence 1 (A), C vence 1 (B)
  7. A venceu 0, B vence 1 ©, C vence 2 (A e B)
  8. A venceu 0, B vence 0, C vence 2 (A e B)

Passo 6

Agora, vamos identificar quais dessas combinações satisfazem a condição de que A vence pelo menos tantas partidas quanto qualquer outro jogador:
  1. A:2, B:1, C:0 → A >= B e A >= C → Sim
  2. A:2, B:0, C:1 → A >= B e A >= C → Sim
  3. A:1, B:1, C:1 → A >= B e A >= C → Sim
  4. A:1, B:0, C:2 → A >= B? Sim (1 >= 0), mas A >= C? Não (1 < 2) → Não
  5. A:1, B:1, C:0 → A >= B e A >= C → Sim
  6. A:1, B:1, C:1 → A >= B e A >= C → Sim
  7. A:0, B:1, C:2 → A >= B? Não (0 < 1) → Não
  8. A:0, B:0, C:2 → A >= B? Sim (0 = 0), mas A >= C? Não (0 < 2) → Não

Passo 7

As combinações que atendem à condição são as de número: 1, 2, 3, 5 e 6. Vamos somar as probabilidades dessas combinações:
0,252 + 0,168 + 0,108 + 0,168 + 0,112 = 0,808

Resposta

A probabilidade de que o jogador A vença pelo menos tantas partidas quanto qualquer outro jogador é de 80,8%.

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