1. Uma bomba enche um tanque com água em 2 horas. Por causa de um vazamento no tanque está demorando 2 \frac{1}{3} horas para enchêlo. O vazamento pode esvaziar toda a água do tanque em
    a) 8 horas.
    b) 7 horas.
    c) 4 \frac{1}{3} horas.
    d) 14 horas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que a bomba enche o tanque sozinha em \,2 horas.
  • Dá que com o vazamento (bomba + vazamento) o enchimento demora \,2\frac{1}{3} horas. Vou converter esse número para fração imprópria: 2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\\ \text{horas}.
  • Pede: em quanto tempo o vazamento sozinho esvaziaria o tanque? (está entre as opções a)–d))

Passo 2

Entendendo a ideia de “taxas” (explicação didática e intuitiva):
  • Trabalhamos com taxas em “tanques por hora”. A taxa da bomba é quanto da capacidade do tanque ela enche por hora; a taxa do vazamento é quanto do tanque ele esvazia por hora.
  • Se a bomba enche o tanque em \,2 horas, a taxa da bomba p (em tanques por hora) é p=\frac{1}{2}.
Explicação: em cada hora a bomba coloca metade do tanque.
  • Se o vazamento esvazia o tanque em \,x horas, a taxa do vazamento l (em tanques por hora) é l=\frac{1}{x}.
Explicação: em cada hora o vazamento tira \tfrac{1}{x} do tanque.
  • Quando estão juntos, a taxa líquida é “bomba menos vazamento”, ou seja \,p-l. Essa taxa líquida é a fração do tanque preenchida por hora quando ambos atuam.

Passo 3

Montando a equação a partir do tempo combinado:
  • O tempo combinado é \tfrac{7}{3} horas, então a taxa líquida é \frac{1}{\tfrac{7}{3}}=\frac{3}{7}\\ \text{(tanques por hora)}.
  • Substituindo p=\tfrac{1}{2} e l=\tfrac{1}{x} na relação p-l=\dfrac{3}{7} obtém-se a equação
\frac{1}{2}-\frac{1}{x}=\frac{3}{7}.

Passo 4

Resolvendo a equação passo a passo:
  • Isolar \dfrac{1}{x}:
\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{3}{7}.
  • Calcular a diferença com denominador comum 14:
\frac{1}{2}=\frac{7}{14},\qquad \frac{3}{7}=\frac{6}{14},
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\frac{1}{x}=\frac{7}{14}-\frac{6}{14}=\frac{1}{14}.
  • Inverter para achar x:
x=14\\ \text{horas}.

Passo 5

Verificação rápida (sanidade):
  • Taxa do vazamento seria \tfrac{1}{14}. Taxa líquida =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{14}=\tfrac{7}{14}-\tfrac{1}{14}=\tfrac{6}{14}=\tfrac{3}{7}. Tempo correspondente =1/(\tfrac{3}{7})=\tfrac{7}{3} horas, que é o tempo combinado dado. Está consistente.
  • Entre as opções apresentadas, corresponde à opção d).

Resposta

d) \,14 horas.

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