1. Uma torneira esvazia um tanque em 1 hora. Uma segunda torneira esvazia o mesmo tanque em meia hora. Se ambas as torneiras forem abertas simultaneamente, quanto tempo será necessário para esvaziar o tanque?
    a) 20 minutos
    b) 30 minutos
    c) 40 minutos
    d) 45 minutos

Passo 1

O enunciado dá duas torneiras que esvaziam o mesmo tanque em tempos diferentes e pergunta quanto tempo leva se as duas forem abertas simultaneamente. Dados relevantes:
  • Torneira 1 esvazia o tanque em 1 hora.
  • Torneira 2 esvazia o tanque em \tfrac{1}{2} hora.
    O que se pede: tempo necessário para esvaziar o tanque quando ambas estão abertas ao mesmo tempo.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática e intuitiva): é mais fácil pensar em “taxas” ou “velocidades” de esvaziamento — isto é, fração do tanque que cada torneira remove por unidade de tempo. Se uma torneira esvazia o tanque inteiro em T horas, então sua taxa é \dfrac{1\\ \text{tanque}}{T\\ \text{horas}}=\dfrac{1}{T} tanque por hora. Quando duas torneiras trabalham juntas, as frações removidas por unidade de tempo somam-se, porque no mesmo intervalo de tempo o volume removido por cada uma se adiciona.

Passo 3

Calcular a taxa da torneira 1. Como ela esvazia 1 tanque em 1 hora, sua taxa é
r_1=\frac{1}{1}=1\\ \text{tanque por hora}.

Passo 4

Calcular a taxa da torneira 2. Como ela esvazia 1 tanque em \tfrac{1}{2} hora, sua taxa é
r_2=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2\\ \text{tanques por hora}.

Passo 5

Somar as taxas para obter a taxa combinada quando ambas estão abertas:
r_{\text{total}}=r_1+r_2=1+2=3\\ \text{tanques por hora}.
Isto significa que juntas elas esvaziam 3 tanques em 1 hora, ou seja uma fração de \tfrac{3}{1} tanque por hora.

Passo 6

Tempo necessário para esvaziar exatamente 1 tanque com a taxa combinada é
t=\frac{1\\ \text{tanque}}{r_{\text{total}}}=\frac{1}{3}\\ \text{hora}.

Resposta

a) 20 minutos

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