1. Um toróide de seção reta quadrada, com 5,20 \mathrm{~cm} de lado, tem raio interno de 16,2 \mathrm{~cm}, 535 voltas no enrolamento, passando uma corrente de 813 mA . Obter o módulo co campo magnético no interior do toróide para r igual: a) ao raio interno; b) raio externo do toróide. R: a) 5,38 \times 10^{-4} \mathrm{~T}; b) 4,07 \times 10^{-4} \mathrm{~T}.

Passo 1

O enunciado pede para obter o módulo do campo magnético no interior de um toróide de seção reta quadrada para duas posições radiais: (a) no raio interno e (b) no raio externo. Dados fornecidos (vou listar tudo para você não se perder):
\begin{aligned} &\text{lado da seção quadrada} = 5,20\\ \text{cm} = 0,0520\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio interno} = 16,2\\ \text{cm} = 0,162\\ \mathrm{m},\\\ &\text{número de voltas} = 535,\\\ &\text{corrente} = 813\\ \mathrm{mA} = 0,813\\ \mathrm{A}. \end{aligned}çãú
As perguntas são:
a) Qual o módulo de B para r igual ao raio interno r_{\text{in}}=0,162\\ \mathrm{m}?\n
b) Qual o módulo de B para r igual ao raio externo r_{\text{out}}=r_{\text{in}} + lado =0,162+0,0520=0,214\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicadinho): ao circular a corrente em um toroide, o campo magnético dentro do “anel” depende do raio r a partir do eixo. Para encontrar B(r) usamos a Lei de Ampère em sua forma mais simples:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
O que isso significa na prática: escolhemos um caminho circular (coaxial com o toroide) de raio r. Nesse caminho B tem a mesma intensidade em todo o contorno e é tangente, então a integral vira B\cdot(2\pi r). O termo I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando o laço, que para um toroide com N voltas é N I. Vou explicar cada símbolo:
\begin{aligned} &\mathbf{B}\text{ : campo magnético (vetor),}\\\ &d\mathbf{\ell}\text{ : elemento de comprimento do caminho de Ampère,}\\\ &\mu_0\text{ : permeabilidade do vácuo }(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}),\\\ &I_{\text{enc}}\text{ : corrente total envolvida pelo caminho (aqui }N I\text{).} \end{aligned}éèá

Passo 3

Aplicando a Lei de Ampère com o caminho circular de raio r temos:
B(2\pi r)=\mu_0 N I.
Isolando B obtemos a fórmula que usaremos:
B(r)=\frac{\mu_0 N I}{2\pi r}.
Essa fórmula vale para pontos dentro do “corpo” do toroide, isto é, para raios r tais que r_{\text{in}}\le r\le r_{\text{out}}. Fora dessa região (muito interior ou muito exterior) o campo é muito pequeno e, no modelo ideal, desprezível.

Passo 4

Calculemos passo a passo os parâmetros numéricos. Primeiro a corrente total equivalente N I:
N I = 535\times 0,813 = 434,955\\ \mathrm{A}.
Agora simplificamos o fator \dfrac{\mu_0}{2\pi}. Como \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A},
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}.
Portanto a constante multiplicativa é 2\times10^{-7}.

Passo 5

Escrevendo B(r) com os valores até agora:
B(r)=\frac{2\times10^{-7}\times (N I)}{r}=\frac{2\times10^{-7}\times 434,955}{r}.
Vamos calcular separadamente para cada raio pedido.

Passo 6

Cálculo para o raio interno r_{\text{in}}=0,162\\ \mathrm{m}:
\begin{aligned} B(r_{\text{in}})&=\frac{2\times10^{-7}\times 434,955}{0,162}\\[4pt] &=\frac{8,69910\times10^{-5}}{0,162}\\[4pt] &\approx 5,368\times10^{-4}\\ \mathrm{T}. \end{aligned}
Arredondando com duas casas significativas no mantissa para combinar com a resposta esperada, obtemos
B(r_{\text{in}})\approx 5,38\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.]

Passo 7

Cálculo para o raio externo r_{\text{out}}=0,214\\ \mathrm{m}:
\begin{aligned} B(r_{\text{out}})&=\frac{2\times10^{-7}\times 434,955}{0,214}\\[4pt] &=\frac{8,69910\times10^{-5}}{0,214}\\[4pt] &\approx 4,064\times10^{-4}\\ \mathrm{T}. \end{aligned}
Arredondando de forma compatível, fica
B(r_{\text{out}})\approx 4,07\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.]

Passo 8

Resumo e observações finais (rápidas e amigáveis): usamos a Lei de Ampère assumindo que as linhas de campo são aproximadamente circulares e que o enrolamento é bem distribuído no toroide. Isso é exatamente o modelo padrão em problemas de física introdutória. Se você quiser, eu te mostro um desenho do caminho de Ampère ou repito os cálculos com mais casas significativas.

Resposta

a) 5,38\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\n
b) 4,07\times10^{-4}\\ \mathrm{T}

Exercícios relacionados