Um torque é aplicado a uma porta através de uma força F=(0,10,0) N a uma distância r=(2,0,0) m do eixo de rotação. Determine o torque gerado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é o seguinte: uma força F = (0, 10, 0) , N está sendo aplicada numa porta a uma distância r = (2, 0, 0) , m do eixo de rotação. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o torque gerado por essa força na porta.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é torque e como calculá-lo usando o produto vetorial entre os vetores de posição ( r) e força ( F).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de torque. O torque ( tau) é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto ou eixo. Para calcular o torque, usamos a seguinte fórmula:
tau = r times F
Aqui, o símbolo times representa o produto vetorial entre os dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes dos vetores que temos:
r = (2, 0, 0) , m
F = (0, 10, 0) , N
Isso significa que a força está atuando na direção y e a distância está ao longo da direção x.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial r times F. O produto vetorial de dois vetores (rx, ry, rz) e (Fx, Fy, Fz) é calculado usando a matriz determinante:
tau = i & j & k rx & ry & rz Fx & Fy & Fz
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Substituindo os valores dos vetores na matriz:
tau = i & j & k 2 & 0 & 0 0 & 10 & 0

Passo 6

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
tau = i(0 cdot 0 - 0 cdot 10) - j(2 cdot 0 - 0 cdot 0) + k(2 cdot 10 - 0 cdot 0)
tau = i(0) - j(0) + k(20)
tau = (0, 0, 20) , Nm

Resposta

O torque gerado é tau = (0, 0, 20) , Nm, ou seja, 20 Nm na direção positiva do eixo z.

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