Use o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia de um cilindro sólido girando em torno de um eixo paralelo ao seu centro de simetria e localizado na sua extremidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um cilindro sólido que está girando em torno de um eixo paralelo ao seu eixo central mas que está localizado na extremidade do cilindro. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos. Precisamos saber qual é o momento de inércia do cilindro em torno do seu eixo central e a distância entre os dois eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o momento de inércia de um cilindro sólido em torno do seu eixo central. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um cilindro sólido, a fórmula é:
Icm = 12 M R^2
onde:
  • $ I_{cm} $ é o momento de inércia em torno do eixo central,
  • $ M $ é a massa do cilindro,
  • $ R $ é o raio do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema nos permite calcular o momento de inércia de um objeto em torno de um eixo que é paralelo ao eixo onde já conhecemos o momento de inércia. A fórmula é:
I = Icm + M d^2
onde:
  • $ I $ é o momento de inércia no novo eixo,
  • $ I_{cm} $ é o momento de inércia em torno do eixo central,
  • $ M $ é a massa do objeto,
  • $ d $ é a distância entre os dois eixos paralelos.

Passo 4

Precisamos determinar $ d $, que é a distância entre o eixo central do cilindro e o novo eixo na extremidade. Se considerarmos que o cilindro tem altura ou comprimento $ L $, então essa distância é igual a metade do comprimento do cilindro, ou seja:
d
Isso porque o eixo central está no meio do cilindro, e o eixo na extremidade está a $ L/2 $ de distância.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema dos Eixos Paralelos com as informações que temos:
I = Icm + M d^2
Substituindo $ I_{cm} $ e $ d $ na fórmula:
Icm
Simplificando:
d
I = 12 M R^2 + M ( L2 )^2

Resposta

O momento de inércia do cilindro sólido em torno do eixo paralelo na sua extremidade é:
I = 12 M R^2 + 14 M L^2

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