Uma torta quente foi cozida a uma temperatura constantes de 325^circ F, é retirada diretamente de um forno e colocada ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que a temperatura ambiente é de 85^circ F. Após 5 minutos na sombra, a temperatura da torta foi reduzida a 250^circ F. Determine:
A temperatura da torta após 20 minutos.

Passo 1

O enunciado: temos uma torta que sai do forno a 325^{\circ}F e é colocada no ar livre (85^{\circ}F). Após 5 min sua temperatura cai para 250^{\circ}F. A matéria envolvida é a Lei do Resfriamento de Newton, e vamos precisar aplicar sua fórmula para determinar a constante de resfriamento k e depois calcular a temperatura após 20 min.

Passo 2

A Lei do Resfriamento de Newton diz que a temperatura T(t) de um objeto em função do tempo t obedece a
T(t)=Ts+(T0-Ts)e^-kt
onde T_s é a temperatura ambiente, T_0 é a temperatura inicial e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

Para achar k usamos o dado de 5 minutos: T_s=85^{\circ}F, T_0=325^{\circ}F e T(5)=250^{\circ}F. Substituindo,
250=85+(325-85)e^-5k
Logo,
250=85+240e^-5kLongrightarrow240e^-5k=165Longrightarrowne^-5k=165240=0,6875
Tomando ln de ambos os lados:
-5k=ln(0,6875)Longrightarrow k=-15ln(0,6875)approx0,07494,min^-1

Passo 4

Agora calculamos T(20) usando k obtido. Pela fórmula,
T(20)=85+240e^-0,07494times20
Calculando o expoente:
-0,07494times20approx-1,4988Longrightarrow e^-1,4988approx0,2234
Então
T(20)=85+240times0,2234approx85+53,61=138,61^circF

Passo 5

Arredondando para uma casa decimal, concluímos que a torta estará a aproximadamente 138,6^{\circ}F depois de 20 minutos.

Resposta

T(20) \approx 138{,}6^{\circ}F

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