Uma torta quente foi cozida a uma temperatura constantes de
, é retirada diretamente de um forno e colocada ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que a temperatura ambiente é de
. Após 5 minutos na sombra, a temperatura da torta foi reduzida a
. Determine:
A temperatura da torta após 20 minutos.
A temperatura da torta após 20 minutos.
Passo 1
O enunciado: temos uma torta que sai do forno a 325^{\circ}F e é colocada no ar livre (85^{\circ}F). Após 5 min sua temperatura cai para 250^{\circ}F. A matéria envolvida é a Lei do Resfriamento de Newton, e vamos precisar aplicar sua fórmula para determinar a constante de resfriamento k e depois calcular a temperatura após 20 min.
Passo 2
A Lei do Resfriamento de Newton diz que a temperatura T(t) de um objeto em função do tempo t obedece a
onde T_s é a temperatura ambiente, T_0 é a temperatura inicial e k>0 é a constante de resfriamento.
Passo 3
Para achar k usamos o dado de 5 minutos: T_s=85^{\circ}F, T_0=325^{\circ}F e T(5)=250^{\circ}F. Substituindo,
Logo,
Tomando ln de ambos os lados:
Passo 4
Agora calculamos T(20) usando k obtido. Pela fórmula,
Calculando o expoente:
Então
Passo 5
Arredondando para uma casa decimal, concluímos que a torta estará a aproximadamente 138,6^{\circ}F depois de 20 minutos.
Resposta
T(20) \approx 138{,}6^{\circ}F