Uma torta quente foi cozida a uma temperatura constantes de
, é retirada diretamente de um forno e colocada ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que a temperatura ambiente é de
. Após 5 minutos na sombra, a temperatura da torta foi reduzida a
. Determine:
O tempo necessário para que a temperatura da torta seja de
.
O tempo necessário para que a temperatura da torta seja de
Passo 1
O enunciado diz que uma torta sai do forno a 325°F e esfria em ambiente a 85°F; depois de 5 min sua temperatura cai a 250°F. Queremos achar o tempo para chegar a 275°F. O conteúdo aqui é a Lei do Resfriamento de Newton, em que usamos a fórmula geral e determinamos a constante de resfriamento k.
Passo 2
A Lei de Newton diz que a temperatura T(t) satisfaz
onde A é a temperatura ambiente (85°F), T_0 é a temperatura inicial (325°F) e k>0 é a constante de resfriamento.
Passo 3
Para achar k, usamos que em t=5 min temos T(5)=250°F. Logo,
Isto é,
Logo
e
Passo 4
Agora achamos o tempo t em que T(t)=275°F. Substituindo na solução geral:
ou seja
Daí
e
portanto
Passo 5
Substituindo k=\tfrac{1}{5}\ln(16/11) e calculando numericamente:
Logo a torta chega a 275°F após cerca de 3,11 minutos.
Resposta
Aproximadamente 3,11 minutos após ser retirada do forno.