Uma torta quente foi cozida a uma temperatura constantes de 325^circ F, é retirada diretamente de um forno e colocada ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que a temperatura ambiente é de 85^circ F. Após 5 minutos na sombra, a temperatura da torta foi reduzida a 250^circ F. Determine:
O tempo necessário para que a temperatura da torta seja de 275^circ F.

Passo 1

O enunciado diz que uma torta sai do forno a 325°F e esfria em ambiente a 85°F; depois de 5 min sua temperatura cai a 250°F. Queremos achar o tempo para chegar a 275°F. O conteúdo aqui é a Lei do Resfriamento de Newton, em que usamos a fórmula geral e determinamos a constante de resfriamento k.

Passo 2

A Lei de Newton diz que a temperatura T(t) satisfaz
T(t)=A+(T0-A)e^-k t
onde A é a temperatura ambiente (85°F), T_0 é a temperatura inicial (325°F) e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

Para achar k, usamos que em t=5 min temos T(5)=250°F. Logo,
250-85=(325-85)e^-5k
Isto é,
165=240e^-5k
Logo
e^-5k=165240=1116
e
k=-15lnl(tfrac1116r)=15lnl(tfrac1611r)

Passo 4

Agora achamos o tempo t em que T(t)=275°F. Substituindo na solução geral:
275-85=240e^-k t
ou seja
190=240e^-k t
Daí
e^-k t=190240=1924
e
-k t=lnl(tfrac1924r)
portanto
t=-1klnl(tfrac1924r)

Passo 5

Substituindo k=\tfrac{1}{5}\ln(16/11) e calculando numericamente:
t=-5ln(19/24)ln(16/11)approx3,11 minutos
Logo a torta chega a 275°F após cerca de 3,11 minutos.

Resposta

Aproximadamente 3,11 minutos após ser retirada do forno.

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