Seja a equação diferencial
2 y^prime prime+4 y^prime+2 y=6 t^2-4+2 e^-t ln t
Discuta como podem ser combinados os métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

A equação dada é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo composto por um polinômio em t e por uma função do tipo e^{−t}ln . Para resolver, vamos precisar dos conteúdos de equações lineares de 2ª ordem, método dos coeficientes a determinar e variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada 2y’’+4y’+2y=0. A equação característica é 2r^2+4r+2=0, ou r^2+2r+1=0, de raiz dupla r=−1. Assim, as soluções fundamentais são y_1(t)=e^{−t} e y_2(t)=t
e^{−t}.

Passo 3

Em seguida, decompondo o termo não homogêneo f(t)=6t2−4+2e{−t}ln em f_1(t)=6t^2−4 e f_2(t)=2e^{−t}ln , vamos buscar uma solução particular y_p=y_{p1}+y_{p2}.

Passo 4

Para y_{p1} relativo a f_1(t)=6t^2−4 (polinomial), aplicamos coeficientes a determinar. Proponha y_{p1}(t)=At^2+Bt+C e substitua na equação original para achar A, B e C.

Passo 5

Para y_{p2} relativo a f_2(t)=2e^{−t}ln , o método dos coeficientes a determinar não se aplica bem (motivado pelo ln ). Então usamos variação de parâmetros com as soluções y_1,y_2, montando y_{p2}=u_1(t)y_1+u_2(t)y_2 e resolvendo para u_1’,u_2’ via o sistema padrão.

Passo 6

Por fim, a solução geral fica y(t)=C_1e^{−t}+C_2t
e^{−t}+y_{p1}(t)+y_{p2}(t), onde y_{p1} vem dos coeficientes a determinar e y_{p2} de variação de parâmetros.

Resposta

A combinação se faz decompondo o termo não‐homogêneo em parte polinomial (tratada por coeficientes a determinar) e parte e^{−t}ln t (tratada por variação de parâmetros), de modo que y(t)=C_1e{−t}+C_2te{−t}+y_{p1}(t)+y_{p2}(t).

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