Justifique todas as suas respostas.
Demonstre que a funçào f(x)=x^2025+x^2023+x+1 nào tem máximo nem mínimo local.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a função f(x)=x{2025}+x{2023}+x+1 não tem máximo nem mínimo local. O conteúdo principal aqui é usar o teste da primeira derivada pra estudar monotonicidade: vamos calcular f’(x) e ver o seu sinal.

Passo 2

Para obter f’(x), aplicamos a regra de potência $\tfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$ em cada termo. Assim,
[f’(x) = 2025,x^{2024} + 2023,x^{2022} + 1]

Passo 3

Agora a gente fatora o termo comum x^{2022} dentro dos dois primeiros somandos:
[f’(x) = 1 + x{2022}\bigl(2025,x2 + 2023\bigr)]

Passo 4

Note que para todo x real temos x^{2022} \ge 0 e 2025,x^2 + 2023 \ge 2023 > 0. Logo o produto x^{2022}(2025 x^2 + 2023) é sempre não negativo, e
[f’(x) = 1 + x^{2022}(2025 x^2 + 2023) > 1 + 0 = 1 > 0]

Passo 5

Como f’(x) > 0 para todo x \in ℝ, concluímos que f é estritamente crescente em toda a reta real. Uma função estritamente crescente não pode ter pontos de máximo nem de mínimo local.

Resposta

A derivada é sempre positiva, logo f é estritamente crescente e não possui máximo nem mínimo local.

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