Quando trabalhamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0
sabemos que duas soluções y_{1}(t) e y_{2}(t) formam um conjunto fundamental de soluções (CFS) caso o Wronskiano dessas soluções
W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1} \cdot y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} \cdot y_{2}
seja não nulo em algum t. Nesses casos, a solução geral da EDO é dada por y(t)= c_{1} \cdot y_{1}+c_{2} \cdot y_{2}, sendo c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} constantes. Isso significa que toda solução da EDO necessariamente tem essa cara. Em cada caso abaixo, encontre um CFS para a EDO. Justifique.
(c) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um conjunto fundamental de soluções (CFS) para a equação diferencial ordinária (EDO)
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0.
Informações dadas:
\text{A EDO é linear, homogênea e com coeficientes constantes: }y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0.éê
Objetivo nesta questão: fornecer duas soluções reais y_{1}(t) e y_{2}(t) que formem um CFS — ou seja, duas soluções linearmente independentes cujo Wronskiano seja não nulo em algum (preferencialmente em todo) t. A justificativa deverá mostrar por que essas soluções geram a solução geral da EDO.

Passo 2

Método que vamos usar (explico passo a passo): para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, uma técnica padrão é procurar soluções do tipo
y(t)=e^{rt},
onde r é um número (podendo ser complexo). Substituir y=e^{rt} na EDO transforma a equação diferencial numa equação algébrica chamada equação característica. A ideia por trás disso: derivadas de e^{rt} são múltiplos de e^{rt}, então o fator e^{rt} pode ser cancelado, sobrando uma equação para r. Essa transformação reduz o problema diferencial a um problema algébrico mais simples.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt} em y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+5y=0. Como
y' = r e^{rt},\qquad y'' = r^{2} e^{rt},
obtemos (dividindo por e^{rt}, que nunca é zero)
r^{2}-2r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos as raízes:
r=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.
Chamando \alpha=1 e \beta=2, as raízes são r=\alpha\pm i\beta.

Passo 4

Interpretação e passagem para soluções reais: quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, soluções complexas da EDO são e^{(\alpha\pm i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{\pm i\beta t}. Usando a fórmula de Euler
e^{i\beta t}=\cos(\beta t)+i\sin(\beta t),
as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)t} fornecem duas soluções reais linearmente independentes:
y_{1}(t)=e^{\alpha t}\cos(\beta t),\qquad y_{2}(t)=e^{\alpha t}\sin(\beta t).
No nosso caso \alpha=1 e \beta=2, logo propomos
y_{1}(t)=e^{t}\cos(2t),\qquad y_{2}(t)=e^{t}\sin(2t).
Agora precisamos justificar a independência (por exemplo, calculando o Wronskiano).

Passo 5

Calculamos as derivadas para montar o Wronskiano. Primeiro as derivadas explícitas:
y_{1}(t)=e^{t}\cos(2t)\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(t)=e^{t}\cos(2t)-2e^{t}\sin(2t)=e^{t}\big(\cos(2t)-2\sin(2t)\big),
y_{2}(t)=e^{t}\sin(2t)\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(t)=e^{t}\sin(2t)+2e^{t}\cos(2t)=e^{t}\big(\sin(2t)+2\cos(2t)\big).
Agora o Wronskiano definido por
W\big(y_{1},y_{2}\big)(t)=y_{1}(t)\,y_{2}'(t)-y_{1}'(t)\,y_{2}(t).
Substituindo as expressões:
W(t)=e^{t}\cos(2t)\cdot e^{t}\big(\sin(2t)+2\cos(2t)\big)-e^{t}\big(\cos(2t)-2\sin(2t)\big)\cdot e^{t}\sin(2t).
Fatorando e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}:
W(t)=e^{2t}\Big[\cos(2t)\big(\sin(2t)+2\cos(2t)\big)-\big(\cos(2t)-2\sin(2t)\big)\sin(2t)\Big].
Expandindo o colchete:
\begin{aligned} \text{colchete} &= \cos(2t)\sin(2t)+2\cos^{2}(2t)-\cos(2t)\sin(2t)+2\sin^{2}(2t)\\\ &=2\cos^{2}(2t)+2\sin^{2}(2t)\\\ &=2\big(\cos^{2}(2t)+\sin^{2}(2t)\big)=2. \end{aligned}
Portanto
W(t)=2e^{2t}.
Como e^{2t}>0 para todo t, temos W(t)=2e^{2t}\neq 0 para todo t. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em toda a reta real e formam um CFS.

Passo 6

Conclusão prática para a prova: sempre que aparecer uma EDO com coeficientes constantes, lembre-se de (i) formar a equação característica, (ii) achar as raízes; se forem complexas \alpha\pm i\beta, escrever as duas soluções reais e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t), e (iii) checar o Wronskiano se quiser justificar independência (na prática ele quase sempre dá k e^{2\alpha t} não nulo). Essas duas funções geram a solução geral da EDO pela combinação linear
y(t)=c_{1}e^{t}\cos(2t)+c_{2}e^{t}\sin(2t),\qquad c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

y_{1}(t)=e^{t}\cos(2t)
y_{2}(t)=e^{t}\sin(2t)

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