Quando trabalhamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea
sabemos que duas soluções
e
formam um conjunto fundamental de soluções (CFS) caso o Wronskiano dessas soluções
seja não nulo em algum
. Nesses casos, a solução geral da EDO é dada por
, sendo
constantes. Isso significa que toda solução da EDO necessariamente tem essa cara. Em cada caso abaixo, encontre um CFS para a EDO. Justifique.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um conjunto fundamental de soluções (CFS) para a equação diferencial ordinária (EDO)
Informações dadas:
Objetivo nesta questão: fornecer duas soluções reais
e
que formem um CFS — ou seja, duas soluções linearmente independentes cujo Wronskiano seja não nulo em algum (preferencialmente em todo)
. A justificativa deverá mostrar por que essas soluções geram a solução geral da EDO.
Passo 2
Método que vamos usar (explico passo a passo): para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, uma técnica padrão é procurar soluções do tipo
onde
é um número (podendo ser complexo). Substituir
na EDO transforma a equação diferencial numa equação algébrica chamada equação característica. A ideia por trás disso: derivadas de
são múltiplos de
, então o fator
pode ser cancelado, sobrando uma equação para
. Essa transformação reduz o problema diferencial a um problema algébrico mais simples.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
em
. Como
obtemos (dividindo por
, que nunca é zero)
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos as raízes:
Chamando
e
, as raízes são
.
Passo 4
Interpretação e passagem para soluções reais: quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, soluções complexas da EDO são
. Usando a fórmula de Euler
as partes real e imaginária de
fornecem duas soluções reais linearmente independentes:
No nosso caso
e
, logo propomos
Agora precisamos justificar a independência (por exemplo, calculando o Wronskiano).
Passo 5
Calculamos as derivadas para montar o Wronskiano. Primeiro as derivadas explícitas:
Agora o Wronskiano definido por
Substituindo as expressões:
Fatorando
:
Expandindo o colchete:
Portanto
Como
para todo
, temos
para todo
. Logo
e
são linearmente independentes em toda a reta real e formam um CFS.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: sempre que aparecer uma EDO com coeficientes constantes, lembre-se de (i) formar a equação característica, (ii) achar as raízes; se forem complexas
, escrever as duas soluções reais
e
, e (iii) checar o Wronskiano se quiser justificar independência (na prática ele quase sempre dá
não nulo). Essas duas funções geram a solução geral da EDO pela combinação linear