Quando trabalhamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0
sabemos que duas soluções y_{1}(t) e y_{2}(t) formam um conjunto fundamental de soluções (CFS) caso o Wronskiano dessas soluções
W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1} \cdot y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} \cdot y_{2}
seja não nulo em algum t. Nesses casos, a solução geral da EDO é dada por y(t)= c_{1} \cdot y_{1}+c_{2} \cdot y_{2}, sendo c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} constantes. Isso significa que toda solução da EDO necessariamente tem essa cara. Em cada caso abaixo, encontre um CFS para a EDO. Justifique.
(b) 4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede que, para a EDO
4y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+y=0,
eu encontre um conjunto fundamental de soluções (CFS) — ou seja, duas soluções y_{1}(t) e y_{2}(t) que sejam linearmente independentes (o que posso checar pelo Wronskiano). Informações dadas:
\text{equação: }4y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+y=0.çã
O que é pedido:
  • Encontrar duas soluções y_{1} e y_{2} que formem um CFS e justificar (mostrar que o Wronskiano não é zero em algum ponto, preferencialmente em todo t).

Passo 2

Método escolhido: como os coeficientes da EDO são constantes, a maneira padrão, simples e rápida é usar a equação característica (método dos coeficientes constantes). Esse método transforma a EDO em uma equação algébrica para uma variável r cuja solução dá as exponenciais que geram as soluções da EDO. É o método mais direto aqui porque evita cálculos pesados e já produz as soluções em forma explícita.

Passo 3

Formo a equação característica substituindo y(t)=e^{rt}. Isso leva a
4r^{2}-4r+1=0.
Agora resolvo essa equação quadrática. Calculo o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot1 = 16-16 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{4}{2\cdot4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
(ou usando a fórmula, r=\dfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}). Portanto a raiz é r=\tfrac{1}{2}, com multiplicidade 2.

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz dupla r, o operador diferencial associado pode ser escrito como múltiplo de (D-r)^{2} (aqui D é o operador \tfrac{d}{dt}). De fato,
4D^{2}-4D+1 = 4(D-\tfrac{1}{2})^{2}.
As funções que anulam (D-r)^{2} (isto é, as soluções da EDO) são geradas por e^{rt} e por t e^{rt}. Intuição rápida: se (D-r)^{2}y=0, então (D-r)y é solução de (D-r)z=0, ou seja (D-r)y é múltiplo de e^{rt}; isso conduz a uma solução y que contém um termo t e^{rt}. Portanto, no nosso caso com r=\tfrac{1}{2}, as duas soluções candidatas são
y_{1}(t)=e^{t/2},\qquad y_{2}(t)=t\,e^{t/2}.

Passo 5

Agora verifico que essas duas soluções são linearmente independentes calculando o Wronskiano. Primeiro calculo as derivadas:
y_{1}(t)=e^{t/2}\quad\Rightarrow\quad y_{1}^{\prime}(t)=\tfrac{1}{2}e^{t/2},
y_{2}(t)=t e^{t/2}\quad\Rightarrow\quad y_{2}^{\prime}(t)=e^{t/2}+t\cdot\tfrac{1}{2}e^{t/2}=\bigl(1+\tfrac{t}{2}\bigr)e^{t/2}.
O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(t)=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}.
Substituo as expressões:
W(t)=e^{t/2}\cdot\bigl(1+\tfrac{t}{2}\bigr)e^{t/2}-\tfrac{1}{2}e^{t/2}\cdot t e^{t/2}.
Agrupo fatores e^{t/2}\cdot e^{t/2}=e^{t}:
W(t)=\bigl(1+\tfrac{t}{2}-\tfrac{t}{2}\bigr)e^{t}=1\cdot e^{t}=e^{t}.
Como e^{t}\neq 0 para todo t\in\mathbb{R}, o Wronskiano é diferente de zero em toda reta real. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um CFS.

Passo 6

Concluo que uma base (CFS) do espaço de soluções é formada por
y_{1}(t)=e^{t/2},\qquad y_{2}(t)=t\,e^{t/2},
e a solução geral da EDO é dada por
y(t)=C_{1}e^{t/2}+C_{2}t e^{t/2},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

y_{1}(t)=e^{t/2},\quad y_{2}(t)=t\,e^{t/2}.
y(t)=C_{1}e^{t/2}+C_{2}t e^{t/2},\; C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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