Quando trabalhamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea
sabemos que duas soluções
e
formam um conjunto fundamental de soluções (CFS) caso o Wronskiano dessas soluções
seja não nulo em algum
. Nesses casos, a solução geral da EDO é dada por
, sendo
constantes. Isso significa que toda solução da EDO necessariamente tem essa cara. Em cada caso abaixo, encontre um CFS para a EDO. Justifique.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que, para a EDO
eu encontre um conjunto fundamental de soluções (CFS) — ou seja, duas soluções
e
que sejam linearmente independentes (o que posso checar pelo Wronskiano). Informações dadas:
O que é pedido:
- Encontrar duas soluções
e que formem um CFS e justificar (mostrar que o Wronskiano não é zero em algum ponto, preferencialmente em todo ).
Passo 2
Método escolhido: como os coeficientes da EDO são constantes, a maneira padrão, simples e rápida é usar a equação característica (método dos coeficientes constantes). Esse método transforma a EDO em uma equação algébrica para uma variável
cuja solução dá as exponenciais que geram as soluções da EDO. É o método mais direto aqui porque evita cálculos pesados e já produz as soluções em forma explícita.
Passo 3
Formo a equação característica substituindo
. Isso leva a
Agora resolvo essa equação quadrática. Calculo o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
(ou usando a fórmula,
). Portanto a raiz é
, com multiplicidade
.
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, o operador diferencial associado pode ser escrito como múltiplo de
(aqui
é o operador
). De fato,
As funções que anulam
(isto é, as soluções da EDO) são geradas por
e por
. Intuição rápida: se
, então
é solução de
, ou seja
é múltiplo de
; isso conduz a uma solução
que contém um termo
. Portanto, no nosso caso com
, as duas soluções candidatas são
Passo 5
Agora verifico que essas duas soluções são linearmente independentes calculando o Wronskiano. Primeiro calculo as derivadas:
O Wronskiano é
Substituo as expressões:
Agrupo fatores
:
Como
para todo
, o Wronskiano é diferente de zero em toda reta real. Logo
e
são linearmente independentes e formam um CFS.
Passo 6
Concluo que uma base (CFS) do espaço de soluções é formada por
e a solução geral da EDO é dada por
com
.