Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(c)
use o teste da raiz.
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede: testar a série quanto a convergência ou divergência usando o teste da raiz para a série
Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - O enunciado escreveu a soma começando em
. Nota importante: em dá , que não é bem definido em análise clássica. Para que a série faça sentido, assumiremos que a soma começa em . Essa é uma correção natural e usual (provavelmente o enunciado quis dizer ). Vou, portanto, testar a convergência da série
Passo 2
Lembrete didático sobre o teste da raiz (a teoria por trás do método):
- Seja
uma sequência de termos de uma série. Defina
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicação simples: o teste da raiz mede a taxa exponencial de decaimento dos termos. Se a raiz enésima dos módulos dos termos tende a algo menor que 1, os termos decaem tão rápido que a série se comporta como uma série geométrica com razão menor que 1.
Passo 3
Compute o módulo do termo geral (pois o teste da raiz usa
):
Escrevendo de forma mais sugestiva:
Isto mostra que o módulo do termo é uma potência com base
.
Passo 4
Aplicar a raiz enésima a
. A raiz enésima de
é
Comentário: aqui usamos a propriedade
quando
. Como
para
, a igualdade vale diretamente.
Passo 5
Calcular o limite (ou limsup) quando
:
Trabalhando com 4 casas decimais e arredondamento padrão, esse valor é
.
Passo 6
Conclusão pelo teste da raiz: como
a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (ou seja, a série original converge).
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge), pois o limite do teste da raiz é
.