Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(c) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{n}}\, use o teste da raiz.

Passo 1

O que o enunciado pede: testar a série quanto a convergência ou divergência usando o teste da raiz para a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-2)^n}{n^n}.
  • O enunciado escreveu a soma começando em n=0. Nota importante: \,n^n em n=0 0^0, que não é bem definido em análise clássica. Para que a série faça sentido, assumiremos que a soma começa em n=1. Essa é uma correção natural e usual (provavelmente o enunciado quis dizer n=1). Vou, portanto, testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}.

Passo 2

Lembrete didático sobre o teste da raiz (a teoria por trás do método):
  • Seja (a_n) uma sequência de termos de uma série. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Explicação simples: o teste da raiz mede a taxa exponencial de decaimento dos termos. Se a raiz enésima dos módulos dos termos tende a algo menor que 1, os termos decaem tão rápido que a série se comporta como uma série geométrica com razão menor que 1.

Passo 3

Compute o módulo do termo geral (pois o teste da raiz usa |a_n|):
a_n=\frac{(-2)^n}{n^n}\quad\Rightarrow\quad |a_n|=\frac{2^n}{n^n}.
Escrevendo de forma mais sugestiva:
|a_n|=\left(\frac{2}{n}\right)^{n}.
Isto mostra que o módulo do termo é uma potência com base \frac{2}{n}.

Passo 4

Aplicar a raiz enésima a |a_n|. A raiz enésima de |a_n| é
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{2}{n}\right)^{n}}=\frac{2}{n}.
Comentário: aqui usamos a propriedade \sqrt[n]{x^{n}}=x quando x\ge 0. Como \dfrac{2}{n}\ge0 para n\ge1, a igualdade vale diretamente.

Passo 5

Calcular o limite (ou limsup) quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0.
Trabalhando com 4 casas decimais e arredondamento padrão, esse valor é 0{,}0000.

Passo 6

Conclusão pelo teste da raiz: como
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0{,}0000<1,
a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (ou seja, a série original converge).

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois o limite do teste da raiz é L=0{,}0000<1.

Exercícios relacionados