Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{3^{n}-2}\, use o teste da comparação.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{3^{n}-2}
usando o teste da comparação. Informação importante dada: a série tem termo geral \dfrac{5^{n+1}}{3^{n}-2}. O que se pede: decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Defino o termo geral
a_n=\frac{5^{n+1}}{3^{n}-2}.
Primeiro noto que, para todo n\ge 1, 3^{n}-2>0, portanto a_n>0. Isso permite usar comparação com séries de termos positivos.

Passo 3

Faço uma manipulação algébrica para comparar com uma série geométrica simples. Escrevo
a_n=\frac{5^{n+1}}{3^{n}-2} =\frac{5\cdot 5^{n}}{3^{n}(1-2/3^{n})} =5\left(\frac{5}{3}\right)^{n}\frac{1}{1-\dfrac{2}{3^{n}}}.
Para todo n\ge 1 tem-se 0<\dfrac{2}{3^{n}}<1, logo 1-\dfrac{2}{3^{n}}\in(0,1) e
\frac{1}{1-\dfrac{2}{3^{n}}}\ge 1.
Portanto, para todo n\ge 1,
a_n \ge 5\left(\frac{5}{3}\right)^{n}.
Observação numérica (com 4 casas decimais): \dfrac{5}{3}\approx 1,6667.

Passo 4

Considere a série comparadora
\sum_{n=1}^{\infty} b_n \quad\text{com}\quad b_n=5\left(\frac{5}{3}\right)^{n}.
Esta é uma série geométrica (termo geral proporcional a r^{n} com r=\dfrac{5}{3}). Como |r|=\dfrac{5}{3}>1, os termos b_n não tendem a zero (na verdade b_n\to\infty), portanto a série \sum b_n diverge. (Um teste rápido: um requisito necessário para a convergência de uma série é que os termos tendam a zero; aqui não ocorre.)

Passo 5

Aplicando o teste da comparação direta: temos 0\le b_n \le a_n para todo n\ge1 e \sum b_n diverge. Então, pela comparação, a série \sum a_n também diverge. Em palavras: como a série comparadora divergente está contida por baixo dos termos da série dada, a série dada não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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